Ressonância em circuitos RLC série

Considere uma fonte senoidal alimentando, em série, uma resistência total, um indutor ideal L e um capacitor ideal C. Por estarem no mesmo ramo, todos conduzem a mesma corrente fasorial.

O capacitor armazena energia no campo elétrico; o indutor, no campo magnético. Durante o regime senoidal permanente, essa energia é continuamente transferida entre os dois campos. A fonte não precisa criar toda essa energia a cada ciclo, mas repõe a parcela perdida nas resistências do circuito.

No modelo, agrupamos as perdas do ramo em uma resistência positiva, R_total > 0. Mantemos L e C ideais para destacar suas reatâncias.

Somando as impedâncias em série, obtemos:

Z = R_total + j(ωL − 1/(ωC))

A parte real, R_total, representa dissipação. A parte imaginária reúne os efeitos reativos: +jωL do indutor e −j/(ωC) do capacitor. As duas parcelas reativas têm sinais opostos, mas cada componente continua tendo seu próprio efeito no circuito.

Na rede RLC série, a parte reativa da impedância é:

j(ωL − 1/(ωC))

Há ressonância série na frequência angular ω₀ em que os módulos das reatâncias são iguais:

ω₀L = 1/(ω₀C)

Nesse ponto, a reatância indutiva é positiva e a capacitiva é negativa, com o mesmo módulo. Portanto, suas contribuições se somam a zero na impedância total.

Isolando a frequência na condição de ressonância, obtemos:

ω₀ = 1/√(LC)

Como ω = 2πf, a frequência de ressonância do modelo é:

f₀ = 1/(2π√(LC))

Use L em henrys (H) e C em farads (F). Assim, o resultado sai em hertz (Hz). Depois, escolha uma unidade adequada: por exemplo, kHz para milhares de hertz.

Imagine um gráfico em função da frequência:

• X_L = ωL cresce quando a frequência aumenta.
• |X_C| = 1/(ωC) diminui quando a frequência aumenta.

O ponto em que as duas curvas se cruzam representa f₀. A interseção não significa que cada curva chegou a zero; significa que seus módulos ficaram iguais.

Agora faça um cálculo com outros valores. Considere um RLC série com:

• L = 4,0 mH
• C = 1,0 µF

Converta as unidades para H e F e aplique f₀ = 1/(2π√(LC)). Informe o resultado em kHz.

A parte reativa da impedância do RLC série pode ser escrita como:

X = ωL − 1/(ωC) = X_L − |X_C|

Compare a frequência aplicada com f₀:

• f < f₀: |X_C| é maior que X_L. Logo, X é negativa e o circuito tem comportamento capacitivo.
• f = f₀: |X_C| e X_L são iguais. Logo, X é nula e o circuito tem comportamento resistivo no modelo.
• f > f₀: X_L é maior que |X_C|. Logo, X é positiva e o circuito tem comportamento indutivo.

Essa classificação é do conjunto em série naquela frequência. O indutor e o capacitor continuam tendo suas reatâncias individuais.

Considere agora um RLC série cuja frequência de ressonância é f₀ = 1,0 kHz. Faça as associações completas. Em cada caso, relacione a frequência ao sinal de X, ao comportamento do circuito e à fase da corrente em relação à fonte.

Na ressonância, a parte reativa do RLC série é nula, mas o circuito não vira um curto-circuito. As resistências que estão em série continuam presentes e limitam a corrente.

No modelo, reúna todas elas em uma única resistência:

R_total = R_ext + R_enrolamento + ESR_C + R_saida

• R_ext: resistor colocado no circuito;
• R_enrolamento: resistência do fio da bobina;
• ESR_C: resistência série equivalente do capacitor;
• R_saida: resistência interna em série da fonte real.

Assim, em f₀, a impedância é puramente resistiva: Z(f₀) = R_total.

A fonte real pode ser representada por uma fonte ideal equivalente V_s,ef em série com R_saida. Essa tensão ideal equivalente fica “antes” da resistência de saída no modelo.

Por isso, ao usar a impedância de toda a malha — que já inclui R_saida — a corrente de ressonância é:

I₀ = V_s,ef / R_total

A tensão disponível nos terminais externos da fonte real não é, em geral, igual a V_s,ef: ela diminui pela queda de tensão em R_saida quando há corrente. Não use a tensão de terminal junto com um R_total que também inclui R_saida; isso contaria essa queda duas vezes.

Fora da ressonância, o módulo da impedância do modelo é:

|Z| = √[R_total² + (ωL − 1/(ωC))²]

Em f₀, o termo entre parênteses vale zero. Portanto, |Z| atinge seu menor valor possível: R_total. É por isso que a corrente é máxima nesse ponto para uma fonte de amplitude fixa.

O cancelamento de X_L e X_C não cancela R_total: resistências dissipam energia, enquanto as reatâncias representam armazenamento e devolução de energia no modelo ideal.

Mantendo a tensão eficaz da fonte ideal equivalente constante, a corrente eficaz em cada frequência é:

I_ef(f) = V_s,ef / |Z(f)|

Como a impedância tem seu menor módulo em f₀, a corrente forma um pico nessa frequência. Fora de f₀, a diferença entre as reatâncias aumenta |Z| e reduz a corrente.

Agora compare circuitos que têm os mesmos valores de L e C, mas resistências totais diferentes. A única mudança no modelo é a quantidade de perdas resistivas.

A resistência total reúne as perdas em série já consideradas no modelo. Ao aumentá-la, a corrente na ressonância cai, pois I₀ = V_s,ef / R_total.

A curva também fica mais larga: em uma mesma fração da altura do seu próprio pico, ela se mantém elevada por uma faixa maior de frequências. Não é necessário calcular essa largura aqui; basta comparar visualmente as curvas em condições equivalentes.

Na ressonância, a corrente eficaz é máxima para as perdas consideradas e as reatâncias têm o mesmo módulo. Assim, as tensões eficazes nos elementos ideais são:

• V_L,ef = I₀ω₀L
• V_C,ef = I₀/(ω₀C)

Como ω₀L = 1/(ω₀C), os módulos são iguais: |V_L,ef| = |V_C,ef|.

Isso não significa que elas sejam pequenas. Se a corrente for alta e a reatância de cada elemento for grande, cada tensão pode ser maior que a tensão eficaz da fonte.

Tomando a corrente como referência, a tensão no resistor está em fase com a corrente. Já V_L está a +90° e V_C está a −90°.

Portanto, na malha:

V_s = V_R + V_L + V_C = V_R

na condição de ressonância ideal para L e C. As parcelas V_L e V_C não desapareceram: elas se somam como fasores opostos. A fonte continua fornecendo a tensão necessária para as quedas nas resistências do modelo.

No exemplo, os fasores podem ser escritos como:

• V_R = 12 ∠ 0° V
• V_L = 100 ∠ +90° V
• V_C = 100 ∠ −90° V

As duas tensões de 100 V têm fases opostas e sua soma é zero. Por isso, a soma total é 12 ∠ 0° V, igual à tensão da fonte. Não há contradição com a lei das tensões de Kirchhoff.

No exemplo anterior, complete a tensão eficaz no indutor:

V_L,ef = I₀X_L = 2 A × 50 Ω = ____ V

Antes de considerar um RLC compatível, compare cada resultado com um limite que descreva a mesma grandeza e as mesmas condições.

• Tensão eficaz calculada → limite declarado para operação em CA eficaz.
• Tensão de pico calculada → limite de pico, se ele for informado.
• Corrente eficaz calculada → limite térmico do indutor.
• Corrente de pico calculada → limite de saturação, quando a especificação for dada dessa forma.

Para uma senoide sem componente contínua:
V_pico = √2 × V_ef
I_pico = √2 × I_ef

Não compare diretamente um resultado eficaz a um limite de pico. Também não trate uma tensão nominal em CC como comprovação automática de operação em CA.

Analise este caso somente pelo modelo, sem montar nem energizar o circuito.

Uma fonte senoidal ideal equivalente de V_s,ef = 12 V alimenta, em série: resistência de saída da fonte de 1 Ω, resistor externo de 6 Ω, resistência do enrolamento de 3 Ω, indutor ideal de L = 10 mH, ESR do capacitor de 2 Ω e capacitor ideal de C = 10 µF.

A análise pedirá a classificação do circuito em 250 Hz, em sua frequência de ressonância e em 1,0 kHz. Os limites declarados são: capacitor até 25 V eficaz em CA; indutor até 1,2 A eficaz por aquecimento e 1,8 A de pico antes de saturação.