Passo 1 de 8
O que um fasor representa
Entenda como um fasor separa amplitude e fase da frequência de uma senoide, sem confundi-lo com o valor instantâneo.
Trilha de aprendizado · Nível 4 · Tutorial 9
Representar senoides por fasores com convenções consistentes de amplitude e fase, preparando sua utilização nas leis dos circuitos.
O que um fasor representa
Entenda como um fasor separa amplitude e fase da frequência de uma senoide, sem confundi-lo com o valor instantâneo. 2 min
Da senoide ao fasor eficaz
Converta senoides para fasores usando referência em cosseno, módulo eficaz e unidades explícitas. 2 min
Do fasor de volta ao tempo
Reconstrua uma senoide no tempo a partir do fasor eficaz e da frequência associada. 2 min
Comparar amplitudes, adiantamento e atraso
Compare módulos eficazes e fases relativas de fasores de mesma frequência. 2 min
Escolher uma referência de fase
Reoriente um conjunto de fasores escolhendo um novo zero de fase, preservando módulos e defasagens relativas. 2 min
Somar senoides com fasores
Some fasores de mesma frequência em forma retangular, interprete a resultante e reconstrua a senoide correspondente. 3 min
Reconhecer os limites da representação
Reconheça quando um fasor senoidal basta e quando o sinal precisa de outra descrição ou de componentes separadas. 2 min
Aplicação final: representar, comparar e somar
Aplique a representação fasorial em um caso completo: confira convenções, compare fases, escolha uma referência, some fasores, reconstrua a senoide e reconheça quando o método deixa de valer. 3 min
Passo 1 de 8
Entenda como um fasor separa amplitude e fase da frequência de uma senoide, sem confundi-lo com o valor instantâneo.
Uma senoide pode ser descrita no tempo por:
v(t) = V_pico × cos(ωt + φ)
Como o argumento do cosseno é um ângulo, ωt + φ deve estar em radianos. A fase pode ser apresentada isoladamente em graus para facilitar a leitura, mas deve ser convertida para radianos quando entrar nessa expressão.
A expressão temporal informa o valor que varia no tempo e a rapidez dessa variação.
Exemplo
A frequência angular relaciona-se à frequência do sinal:
ω = 2πf
Se f estiver em hertz (Hz), ω estará em rad/s. Para f = 60 Hz:
ω = 2π × 60 = 120π rad/s
A frequência determina quantos ciclos ocorrem por segundo; ela não é substituída pela fase.
Um fasor é um número complexo que registra a amplitude e a fase de uma senoide. Ele pode ser mostrado como uma seta fixa no plano complexo:
V̲ = M ∠ φ
O módulo M representa uma medida de amplitude adotada pela convenção em uso; a fase φ indica a direção da seta. Separe as funções:
A convenção específica para o módulo será definida no próximo passo.
O fasor permanece fixo; a senoide correspondente assume valores diferentes a cada instante.
Dica
A seta fasorial não gira literalmente na tela nem mostra a tensão medida em um instante. Ela é uma representação complexa conveniente para uma senoide em condições estáveis.
Assim, a parte real do fasor também não deve ser lida isoladamente como a tensão instantânea. Para obter um valor no tempo, é necessário usar a expressão temporal e a frequência associada.
Operações fasoriais são usadas inicialmente para senoides em regime permanente que compartilham uma mesma frequência positiva.
A frequência integra a identificação completa do sinal, embora fique fora do número complexo. Portanto, dois fasores com o mesmo módulo e fase, mas associados a frequências diferentes, não representam a mesma senoide temporal.
Exemplo
Considere este registro:
Fasor: V̲ = M ∠ 30°
Frequência: f = 50 Hz
O fasor registra a amplitude pela grandeza M e a fase de 30°. Já os 50 Hz informam a rapidez da oscilação e permitem determinar o período. Sem a frequência, a senoide no tempo não fica completamente identificada.
Ainda não vamos converter M em valor de pico nem reconstruir v(t); essas etapas virão adiante.
Associe cada elemento à sua função principal. Considere uma senoide descrita por v(t) = V_pico cos(ωt + φ) e seu fasor associado V̲ = M ∠ φ.
Faça as associações corretas.
Toque em um item e depois no par correspondente.
Passo 2 de 8
Converta senoides para fasores usando referência em cosseno, módulo eficaz e unidades explícitas.
Nesta trilha, escreveremos senoides com cosseno como referência e representaremos tensão e corrente por fasores de módulo eficaz.
Para uma senoide sem componente contínua:
v(t) = V_pico × cos(ωt + φ_rad)
seu fasor é:
V̲ = (V_pico/√2) ∠ φ = V_ef ∠ φ
A fase física é preservada; apenas a medida do módulo muda, de pico para eficaz. Na expressão temporal, a fase deve estar em radianos, pois ela é somada a ωt.
O fasor preserva a fase; seu módulo é o valor eficaz, não o valor de pico.
Mantenha três informações em seus lugares:
Exemplo de registro completo: V̲ = 12 ∠ 30° V, associado a f = 60 Hz. O fasor informa 12 V eficazes e fase de 30°; a frequência de 60 Hz é uma informação separada.
Se essa fase entrar em uma expressão com ωt, use a equivalência 30° = π/6 rad.
Exemplo
Para v(t) = 20 cos(ωt − π/6) V:
Logo:
V̲ = 14,14 ∠ −30° V
A frequência é a indicada por ω ou por f na descrição do sinal; ela não é substituída pelo ângulo do fasor.
Dica
Se a amplitude já vier identificada como eficaz, não divida por √2 novamente.
Por exemplo, uma tensão senoidal de 8 V eficazes, com fase de 15°, corresponde diretamente a:
V̲ = 8 ∠ 15° V
Se for necessário escrevê-la no tempo mais adiante, 15° deverá ser convertido para π/12 rad no argumento do cosseno.
Nem toda expressão temporal vem em cosseno. Antes de formar o fasor, normalize uma expressão em seno:
sen(α) = cos(α − π/2)
Assim, subtraia π/2 rad da fase que acompanha o seno. Só depois converta o valor de pico em eficaz.
Exemplo:
i(t) = 6 sen(ωt + π/9) A
= 6 cos(ωt + π/9 − π/2) A
= 6 cos(ωt − 7π/18) A
Como −7π/18 rad equivale a −70° e 6 A é valor de pico:
Ī = 4,24 ∠ −70° A
A conversão altera a referência usada na escrita, não altera o sinal físico.
Considere a expressão temporal, já escrita na referência em cosseno:
v(t) = 10 cos(ωt + π/4) V
Complete o fasor eficaz, usando a fase equivalente em graus:
V̲ = [lacuna] ∠ 45° V
Qual valor deve ocupar a lacuna?
Associe cada informação da expressão i(t) = 8 sen(ωt + π/6) A à leitura correta na convenção da trilha.
Toque em um item e depois no par correspondente.
Passo 3 de 8
Reconstrua uma senoide no tempo a partir do fasor eficaz e da frequência associada.
Um fasor guarda o módulo eficaz e a fase; a frequência vem informada à parte. Para voltar ao tempo, use:
v(t) = √2 × |V̲| × cos(2πft + φ_rad)
O resultado v(t) é um valor instantâneo real; ele não é o fasor nem apenas sua parte real.
O comprimento do fasor representa o valor eficaz; a altura máxima da senoide é √2 vezes esse módulo.
Exemplo
Considere o fasor V̲ = 12 ∠ 30° V, associado a f = 50 Hz.
Expressão temporal reconstruída
v(t) = 16,97 cos(2π × 50t + π/6) V
ou
v(t) = 16,97 cos(100πt + π/6) VDica
Se o fasor vier em forma retangular, recupere primeiro sua forma polar com as operações já estudadas. Por exemplo, se V̲ = 8,49 + j8,49 V, então |V̲| = 12 V e φ = 45° = π/4 rad. Só depois aplique a fórmula temporal.
A conversão para polar fornece exatamente as duas informações necessárias: o módulo eficaz para calcular o pico e a fase para compor o argumento do cosseno.
Organize o caminho para obter uma expressão temporal a partir de um fasor eficaz e de sua frequência associada.
Coloque as etapas na ordem correta.
Reconstrua completamente o sinal associado a V̲ = 8 ∠ −45° V, com f = 25 Hz.
Use o módulo eficaz para obter o pico, calcule a frequência angular e escreva a fase em radianos. Complete a expressão abaixo. Em seguida, calcule o valor instantâneo em t = 0 s.
Preencha as três lacunas da expressão temporal.
v(t) = cos(t + ) VUsando a expressão reconstruída, qual é o valor de v(0) em volts?
Passo 4 de 8
Compare módulos eficazes e fases relativas de fasores de mesma frequência.
Para comparar dois fasores, primeiro confira se representam a mesma grandeza, usam a mesma unidade e têm a mesma frequência. Só então compare:
Por exemplo, em \(\underline{V}_A=8\angle30°\text{ V}\) e \(\underline{V}_B=5\angle(-20°)\text{ V}\), A tem maior tensão eficaz porque 8 V é maior que 5 V. Isso não diz, por si só, qual sinal está adiantado.
O comprimento da seta representa o módulo eficaz; a separação angular representa a defasagem. São informações diferentes.
Defina a ordem da comparação e mantenha-a até o fim:
\[\Delta\varphi=\varphi_A-\varphi_B\]
Para fasores de mesma frequência, se \(\Delta\varphi>0\), A está adiantado em relação a B. Se \(\Delta\varphi<0\), A está atrasado em relação a B. Expresse o resultado em um intervalo de −180° a +180° usando ângulos equivalentes, quando necessário.
Se a diferença for +180° ou −180°, os sinais estão em oposição de fase. Nesse caso, não atribua um sentido único de adiantamento: +180° e −180° representam a mesma separação.
Exemplo
Considere, na mesma frequência:
\[\underline{I}_A=3\angle70°\text{ mA}\]
\[\underline{I}_B=6\angle10°\text{ mA}\]
Amplitude: B tem o maior módulo eficaz: 6 mA contra 3 mA.
Fase de A em relação a B:
\[\Delta\varphi=70°-10°=+60°\]
Logo, A está adiantada de 60° em relação a B, embora sua amplitude seja menor. No gráfico temporal, pontos equivalentes de A — como picos e cruzamentos ascendentes — ocorrem antes dos de B.
Dados \(\underline{V}_A=4\angle20°\text{ V}\) e \(\underline{V}_B=4\angle(-40°)\text{ V}\), complete:
A defasagem \(\Delta\varphi=\varphi_A-\varphi_B\) é {{blank}}; portanto, A está {{blank}} em relação a B.
Dois fasores de tensão, na mesma frequência, são \(\underline{V}_A=2\angle90°\text{ V}\) e \(\underline{V}_B=7\angle0°\text{ V}\). Qual descrição das senoides é correta?
Passo 5 de 8
Reoriente um conjunto de fasores escolhendo um novo zero de fase, preservando módulos e defasagens relativas.
Um conjunto de fasores pode ser descrito a partir de diferentes referências de fase. Escolha um fasor de módulo não nulo e declare seu ângulo como 0°.
Se a referência escolhida tinha fase φ_ref, atualize todos os ângulos pela mesma regra:
φ_novo = φ_antigo − φ_ref
Os módulos eficazes e as unidades não mudam. Apenas a orientação comum do conjunto é redefinida.
| Fasor | Antes | Após usar A como referência |
|---|---|---|
| A | 10 V ∠ 30° | 10 V ∠ 0° |
| B | 6 V ∠ −20° | 6 V ∠ −50° |
A rotação é igual para todos: módulos e separação angular são preservados.
Exemplo
Considere A = 10 V ∠ 30° e B = 6 V ∠ −20°. Escolhendo A como referência:
Logo, A = 10 V ∠ 0° e B = 6 V ∠ −50°.
Antes da mudança, φ_B − φ_A = −20° − 30° = −50°. Depois, a diferença continua −50°. Portanto, B permanece atrasado de 50° em relação a A.
Dica
Mudar a referência não atrasa fisicamente nenhum sinal. É uma nova forma de medir os ângulos do mesmo conjunto de senoides.
Se você for reconstruir expressões no tempo usando os novos ângulos, a origem t = 0 também deve ser compatível com a referência recém-escolhida. Não misture ângulos novos com a origem temporal antiga.
P = 8 V ∠ 20° e Q = 5 V ∠ −40°. Use Q como referência de fase zero.
O novo ângulo de P é {{blank}}°.
Ao escolher outro fasor como referência de fase, os módulos e as defasagens relativas do conjunto permanecem inalterados.
Passo 6 de 8
Some fasores de mesma frequência em forma retangular, interprete a resultante e reconstrua a senoide correspondente.
Quando duas senoides representam a mesma grandeza, usam a mesma unidade, têm a mesma frequência e seguem a mesma convenção (aqui, referência em cosseno e módulo eficaz), sua soma temporal pode ser obtida pela soma dos fasores:
v_R(t) = v_A(t) + v_B(t) ⟷ V̲_R = V̲_A + V̲_B
A frequência não é somada nem alterada: a resultante continua na frequência comum. O que muda é o módulo eficaz e a fase.
A resultante é a diagonal obtida pela soma das componentes complexas, não pela soma automática dos módulos.
Dica
Para somar, use a forma retangular: some separadamente as partes real e imaginária. Depois, converta o resultado para a forma polar para ler módulo eficaz e fase.
A soma direta dos módulos só funciona quando os fasores estão exatamente em fase.
Exemplo
Considere fasores eficazes de tensão, ambos em 1 kHz:
Em forma retangular:
Logo:
V̲_R = (10 + j0) + (0 + j10) = 10 + j10 V
Convertendo para polar, obtemos V̲_R = 14,14 ∠ 45° V. O módulo eficaz resultante não é 20 V, pois as setas têm direções diferentes.
Com f = 1 kHz, a expressão temporal correspondente é:
v_R(t) = √2 × 14,14 × cos(2π × 1000t + π/4) V
O ângulo foi escrito em radianos porque compõe o argumento do cosseno. A resultante tem a mesma frequência de A e B.
Atenção
Não some módulos quando houver defasagem. Por exemplo, dois fasores de 10 V eficazes a 90° resultam em 14,14 V eficazes, e não em 20 V eficazes.
Organize o procedimento para somar V̲_A = 10 ∠ 0° V e V̲_B = 10 ∠ 90° V. A ordem ajuda a não misturar módulo, componentes e fase.
Dica
A conversão para a forma polar vem depois da soma das componentes; assim, o ângulo e o módulo representam o fasor resultante.
Em casos-limite:
No cancelamento total, o módulo é zero e o argumento não é definido. Portanto, não atribua uma fase à resultante nula.
Coloque as etapas na ordem correta.
Ordene o cálculo de V̲_R.
Para V̲_A = 10 ∠ 0° V e V̲_B = 10 ∠ 90° V, qual é a resultante e sua expressão temporal em 1 kHz?
Passo 7 de 8
Reconheça quando um fasor senoidal basta e quando o sinal precisa de outra descrição ou de componentes separadas.
Um único fasor representa uma componente senoidal em regime permanente: com frequência positiva definida, módulo eficaz constante e fase constante.
A frequência não fica “dentro” do fasor. Assim, \(\underline V=5\angle30°\ \text{V}\), associado a 1 kHz, descreve uma senoide diferente do mesmo fasor associado a 50 Hz.
Portanto, o fasor não representa o valor instantâneo nem funciona como retrato geral de qualquer sinal periódico.
O fasor descreve amplitude e fase constantes de uma senoide; não descreve sozinho uma forma de onda arbitrária.
Antes de somar ou comparar fasores, verifique:
Se as respostas forem “sim”, um fasor pode descrever essa componente. Caso contrário, separe as componentes quando isso for possível ou use uma descrição temporal mais apropriada.
Classifique cada situação quanto ao uso de um único fasor senoidal.
| Situação | Um único fasor descreve o sinal completo? |
|---|---|
| 4 cos(2π·60t + π/9) V, estável | Sim |
| 3 cos(2π·60t) + 2 cos(2π·120t) V | Não: há duas frequências |
| Onda retangular periódica de 5 V | Não: não é senoide |
| 12 V + 2 cos(2π·60t) V | Não: há componente contínua |
| Senoide durante a carga de um capacitor | Não durante o transiente |
Frequências diferentes: a soma fasorial só reúne senoides de mesma frequência. Em \(2\cos(2\pi60t)+\cos(2\pi120t)\), cada parcela senoidal pode ter seu fasor, mas não existe um único fasor cuja senoide seja a soma completa.
Componente contínua: em \(12+2\cos(2\pi60t)\), mantenha 12 V como valor contínuo separado. O fasor representa somente a parcela senoidal.
Onda retangular: ter período e valor eficaz não a transforma em senoide. Um único fasor não a descreve.
Componentes em frequências distintas e nível contínuo devem permanecer separados; uma onda retangular não é uma única senoide.
Um fasor pressupõe regime permanente: depois que os efeitos de partida, carga, descarga ou comutação deixaram de variar.
Durante um transiente, amplitude e/ou fase podem mudar com o tempo. Portanto, o fasor de regime permanente não conta a história completa da evolução temporal. Ele pode voltar a ser útil para a senoide estável que resta depois do transiente.
Associe cada sinal à justificativa mais adequada sobre o uso de um único fasor senoidal.
Toque em um item e depois no par correspondente.
Considere \(v(t)=5+4\cos(2\pi\cdot1000t+\pi/9)\text{ V}\) após o sinal já ter se estabilizado. Explique, em uma ou duas frases, quais partes podem ser registradas com fasor e quais devem permanecer fora dele.
Escreva pelo menos 70 caracteres (0/70).
Passo 8 de 8
Aplique a representação fasorial em um caso completo: confira convenções, compare fases, escolha uma referência, some fasores, reconstrua a senoide e reconheça quando o método deixa de valer.
Caso integrado: trabalhe inicialmente na referência temporal original.
Antes de operar, confira as condições: ambas são tensões, usam volts, estão na referência em cosseno e têm a mesma frequência, 1000 Hz. As amplitudes informadas são de pico; os fasores da trilha usam módulo eficaz.
Você vai: converter os sinais, comparar as fases, trocar a referência apenas para leitura relativa, somar na referência original e reconstruir a resultante nessa mesma referência temporal.
Na referência original, as componentes verticais dos dois fasores têm sinais opostos; a resultante fica no eixo real positivo.
Converta as duas senoides em fasores eficazes. Depois, escolha B como referência de fase e complete os novos ângulos. Use graus nos fasores.
\underline{V}_A = \angle \ \text{V}
\underline{V}_B = \angle \ \text{V}
\text{Com B como referência:}
\underline{V}_{A,\,\text{nova}} = 10 \angle \ \text{V}
\underline{V}_{B,\,\text{nova}} = 10 \angle \ \text{V}Agora retorne à referência temporal original e some os fasores pelas componentes. Complete a forma retangular, a forma polar e a senoide resultante. Na última linha, escreva a fase em radianos.
\underline{V}_R = ( + j)\ \text{V}
\underline{V}_R = \angle \ \text{V}
v_R(t) = \cos(2\pi\cdot1000t + )\ \text{V}Use a tabela para conferir as duas referências sem confundi-las.
| Etapa | Referência temporal original | Referência com B em 0° |
|---|---|---|
| Fasor A | 10 ∠ 30° V | 10 ∠ 60° V |
| Fasor B | 10 ∠ −30° V | 10 ∠ 0° V |
| Fasor resultante | 10√3 ∠ 0° V | 10√3 ∠ 30° V |
| Resultado temporal | 10√6 cos(2π·1000t) V | Exige origem temporal compatível |
Qual diagrama confirma a soma na referência temporal original?
Agora altere somente \(v_B\) para uma frequência de 1200 Hz, mantendo sua amplitude e sua fase. Explique por que não se deve somar os dois fasores para obter uma única senoide resultante.
Escreva pelo menos 80 caracteres (0/80).
Resumo
Parabéns! Você concluiu: Representação de senoides por fasores
Você concluiu a representação de senoides por fasores: converteu, comparou, escolheu referências, somou e reconheceu os limites do método. No próximo tutorial, esses fasores serão usados para analisar impedâncias em circuitos RC e RL.
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