Passo 1 de 8
De duas componentes a um número complexo
Reconheça a unidade imaginária j, leia as componentes de um número complexo e posicione-o no plano complexo.
Trilha de aprendizado · Nível 4 · Tutorial 8
Representar números complexos nas formas retangular e polar e efetuar as operações necessárias à análise elétrica, usando a trigonometria já praticada.
De duas componentes a um número complexo
Reconheça a unidade imaginária j, leia as componentes de um número complexo e posicione-o no plano complexo. 3 min
A forma polar: módulo e argumento
Reconheça módulo, argumento, direções equivalentes e o caso especial do zero na forma polar. 3 min
Converter entre as duas formas
Converta números complexos entre as formas retangular e polar, usando módulo, projeções e conferência de quadrante. 4 min
Somar e subtrair pelas componentes
Use componentes real e imaginária para somar e subtrair números complexos, mantendo atenção aos sinais e à posição final no plano. 3 min
Multiplicar módulos e somar argumentos
Multiplique números complexos não nulos na forma polar, interpretando o resultado como escala e rotação. 3 min
Dividir módulos e subtrair argumentos
Aplique a divisão polar com a ordem correta dos argumentos, trate o zero com cuidado e confira o resultado pela multiplicação inversa. 3 min
Operar com j como um quarto de volta
Use j como uma rotação de um quarto de volta para simplificar expressões e prever os sinais das componentes. 3 min
Aplicação final: calcular e conferir
Aplique formas retangular e polar em uma expressão integrada, verificando módulo, quadrante e direção. 5 min
Passo 1 de 8
Reconheça a unidade imaginária j, leia as componentes de um número complexo e posicione-o no plano complexo.
Na análise elétrica, usamos j para representar a unidade imaginária:
j² = −1
A letra i também é comum na matemática, mas aqui preferimos j para não confundi-la com o símbolo de corrente elétrica.
Assim, uma expressão como j × j resulta em −1. O símbolo j não é uma unidade física: é uma regra algébrica que permite trabalhar com uma segunda componente numérica.
A relação fundamental é j² = −1.
Exemplo
Simplificação direta:
3j² = 3 × (−1) = −3
Já em 5j, o j não está ao quadrado: esse termo continua sendo imaginário.
A forma retangular de um número complexo é:
z = a + jb
Em z = 4 − j3, também podemos escrever z = 4 − 3j. A parte real é 4, a parte imaginária é −3 e o termo imaginário é −3j.
Atenção: b e jb não são a mesma coisa. O primeiro é uma componente numérica; o segundo é o termo que aparece na expressão.
Em z = a + jb, b é a componente; jb é o termo imaginário.
O plano complexo usa os mesmos dois eixos que você já conhece, mas com novos nomes:
O complexo z = a + jb corresponde ao ponto (a, b). Portanto, para localizar o ponto, use o coeficiente de j — isto é, b — e não o termo jb como uma coordenada literal.
Exemplo: z = −2 + j3 corresponde a (−2, 3): duas unidades à esquerda e três para cima.
As coordenadas de −2 + j3 são (−2, 3).
Exemplo
Casos particulares da mesma forma:
Todo número complexo tem duas componentes, mesmo quando uma delas vale zero.
Complete a simplificação:
−2j² = ___
−2j² = ___
Qual imagem posiciona corretamente o número complexo z = 3 − 2j no plano complexo?
Escolha o ponto correspondente a (3, −2).
Passo 2 de 8
Reconheça módulo, argumento, direções equivalentes e o caso especial do zero na forma polar.
Além da forma retangular, um número complexo pode ser escrito na forma polar:
z = |z| ∠ θ
As duas formas representam o mesmo ponto no plano complexo, mas destacam informações diferentes:
Neste tutorial, os argumentos serão dados em graus (°). O módulo é sempre maior ou igual a zero; ele nunca é negativo.
O comprimento do vetor representa o módulo; sua direção, medida desde o eixo real positivo, representa o argumento.
Considere z = 5 ∠ 30°. Isso informa que o ponto está a distância 5 da origem e na direção de 30° a partir do eixo real positivo. O símbolo ∠ separa módulo e argumento; não indica uma operação.
Por convenção, o sentido anti-horário é positivo. Assim, 90° aponta para cima, 180° para a esquerda e −90° para baixo.
Uma volta completa não altera a direção. Portanto, argumentos que diferem por múltiplos inteiros de 360° representam a mesma direção.
Acrescentar ou retirar uma volta completa de 360° não muda a direção do raio.
Exemplo
Para o complexo 5 ∠ 30°:
A representação 5 ∠ 390° aponta na mesma direção, pois 390° = 30° + 360°. De modo semelhante, 5 ∠ −330° também representa essa direção.
Relacione cada forma polar à direção que ela representa.
Toque em um item e depois no par correspondente.
Qual escrita pode representar corretamente um número complexo na forma polar?
O número complexo zero é um caso especial. Seu módulo é 0, pois ele está na origem. Porém, seu argumento é indefinido: não há um segmento com comprimento diferente de zero que aponte da origem para a própria origem.
Assim, não atribua ao zero uma direção própria, como 0° ou 90°. A forma polar com módulo não nulo sempre descreve distância e direção; para o zero, existe apenas a distância nula.
Verdadeiro ou falso? O número complexo zero tem argumento definido como 0° porque está sobre o eixo real.
Passo 3 de 8
Converta números complexos entre as formas retangular e polar, usando módulo, projeções e conferência de quadrante.
Para passar de z = a + jb para a forma polar, calcule primeiro o módulo:
|z| = √(a² + b²)
Depois determine o argumento θ considerando as duas componentes. Se sua calculadora ou planilha tiver a função atan2(b, a), use-a: ela já considera o quadrante.
Se usar arctan(b/a), examine os sinais antes de aceitar o ângulo. Um valor negativo de a e positivo de b, por exemplo, coloca o ponto no 2º quadrante — portanto o argumento deve ficar entre 90° e 180°.
Mantenha valores intermediários na calculadora e arredonde apenas no resultado final.
Os sinais das componentes localizam o quadrante; o módulo é a hipotenusa do triângulo.
Exemplo
Considere z = −3 + j4.
Logo, θ = 180° − 53,13° = 126,87° e:
z = 5 ∠ 126,87°
Uma calculadora com atan2(4, −3) retorna diretamente 126,87° quando está configurada em graus.
Dica
Antes de calcular um arco-tangente, confira o ponto no plano: (+,+) está no 1º quadrante; (−,+), no 2º; (−,−), no 3º; e (+,−), no 4º. O módulo nunca informa sozinho o quadrante.
Há casos em que não se deve usar b/a para buscar o argumento:
Identifique o zero antes de pedir o argumento à calculadora. Ele não aponta para direção alguma.
Exemplo
Qual é a forma polar correta de z = −j6?
Dica
O módulo é 6. Como o ponto está sobre o semieixo imaginário negativo, sua direção é −90° (equivalentemente, 270°).
−j6 = 6 ∠ −90°
Não há necessidade de dividir componentes nem de calcular arctan.
Para voltar de |z| ∠ θ à forma retangular, projete o módulo nos eixos:
a = |z| cos(θ)
b = |z| sen(θ)
Então escreva o resultado como a + jb. Os sinais esperados vêm do quadrante do ângulo: por exemplo, em 120°, o cosseno é negativo e o seno é positivo.
As projeções cosseno e seno fornecem, respectivamente, as componentes real e imaginária.
Exemplo
Converta 10 ∠ 120°.
Portanto:
10 ∠ 120° ≈ −5 + j8,660
A conferência faz sentido: o ângulo está no 2º quadrante, logo a parte real deve ser negativa e a imaginária, positiva. Além disso, √[(-5)² + 8,660²] ≈ 10.
Complete a conversão de z = 6 ∠ 30° para a forma retangular.
z = 6 cos(30°) + j[ 6 sen(30°) ] = 3√3 + j ___.
Preencha a lacuna.
Um cálculo apresentou z = −3 + j4 como 5 ∠ 53,13°. Qual é o problema?
Um cálculo apresentou z = −3 + j4 como 5 ∠ 53,13°. Qual é o problema?
Passo 4 de 8
Use componentes real e imaginária para somar e subtrair números complexos, mantendo atenção aos sinais e à posição final no plano.
Para somar complexos, use a forma retangular e combine componentes do mesmo tipo:
(a + jb) + (c + jd) = (a + c) + j(b + d)
Partes reais se somam com partes reais; coeficientes de j se somam com coeficientes de j. No plano complexo, isso equivale a adicionar separadamente os deslocamentos horizontal e vertical.
Somar complexos equivale a compor seus deslocamentos nas direções real e imaginária.
Exemplo
Exemplo: (2 + j) + (−1 + j3)
Logo, (2 + j) + (−1 + j3) = 1 + j4.
A primeira seta leva até (2, 1). A segunda desloca uma unidade à esquerda e três para cima. O ponto final é (1, 4).
Na subtração, mantenha as componentes separadas e distribua o sinal negativo ao complexo inteiro:
(a + jb) − (c + jd) = (a − c) + j(b − d)
Os parênteses evitam um erro frequente: trocar o sinal só da parte real e esquecer a parte imaginária.
Exemplo
Calcule (3 − j2) − (−4 + j5):
(3 − j2) − (−4 + j5)
= 3 − j2 + 4 − j5
= 7 − j7
Subtrair −4 resulta em +4; subtrair +j5 resulta em −j5. O sinal de menos vale para os dois termos do segundo complexo.
Dica
Em soma ou subtração, não some módulos nem argumentos diretamente. Essas operações exigem componentes real e imaginária. Se algum número estiver em polar, converta-o antes para a forma retangular.
Some primeiro as partes reais e depois as partes imaginárias. Você pode escrever o termo imaginário tanto como j2 quanto como 2j.
Complete: (−3 + j4) + (5 − j6) =
Calcule primeiro:
(2 + j3) − (5 − j1)
Depois selecione a representação geométrica compatível com o resultado.
Qual imagem representa o resultado −3 + j4 no plano complexo?
Passo 5 de 8
Multiplique números complexos não nulos na forma polar, interpretando o resultado como escala e rotação.
Quando os dois fatores são não nulos e estão na forma polar, multiplique os módulos e some os argumentos:
(r₁ ∠ θ₁) × (r₂ ∠ θ₂) = (r₁r₂) ∠ (θ₁ + θ₂)
O módulo do produto expressa a escala resultante. O argumento expressa a rotação total, medida a partir do eixo real positivo.
Mantenha os ângulos em graus, como nos steps anteriores.
Multiplicar em polar combina mudança de escala e rotação.
Exemplo
Calcule:
(2 ∠ 30°) × (3 ∠ 45°)
Módulo: 2 × 3 = 6
Argumento: 30° + 45° = 75°
Logo, (2 ∠ 30°) × (3 ∠ 45°) = 6 ∠ 75°.
O resultado tem módulo 6 porque os módulos foram multiplicados. Sua direção é 75° acima do eixo real porque os dois argumentos foram somados.
Dica
Se a soma dos argumentos ultrapassar uma volta, você pode substituir o ângulo por uma direção equivalente, somando ou subtraindo 360°.
Exemplo:
(4 ∠ 140°) × (2 ∠ 250°) = 8 ∠ 390°
Como 390° − 360° = 30°, uma forma mais fácil de ler é 8 ∠ 30°. As duas notações indicam a mesma direção.
Quando um fator estiver na forma retangular, converta-o antes para polar. Só volte à forma retangular se a questão pedir explicitamente essa forma.
Exemplo: para multiplicar (3 + j4) × (2 ∠ 30°), primeiro converta 3 + j4 para 5 ∠ 53,13°. Em seguida:
(5 ∠ 53,13°) × (2 ∠ 30°) = 10 ∠ 83,13°
Evite arredondar demais os ângulos durante as contas; arredonde apenas o resultado quando necessário.
Atenção
Se qualquer fator for zero, o produto é zero.
Não aplique a soma de argumentos nesse caso: o zero não tem argumento definido.
Exemplo: 0 × (7 ∠ 120°) = 0.
Complete o produto na forma polar. Para esta questão, escreva o argumento normalizado no intervalo 0° ≤ θ < 360°:
(4 ∠ 110°) × (3 ∠ 160°) = 12 ∠ ____
Digite somente o argumento, incluindo o símbolo °.
Quatro módulo cento e dez graus, vezes três módulo cento e sessenta graus, é igual a doze módulo qual ângulo? Escreva o argumento entre zero graus, inclusive, e trezentos e sessenta graus, exclusive.
Preencha o argumento normalizado do produto.
Verdadeiro ou falso? O produto (10 ∠ 20°) × (0,5 ∠ 350°) pode ser escrito como 5 ∠ 10°.
Passo 6 de 8
Aplique a divisão polar com a ordem correta dos argumentos, trate o zero com cuidado e confira o resultado pela multiplicação inversa.
Para dividir dois complexos não nulos na forma polar, divida os módulos e subtraia os argumentos, nesta ordem:
(r₁ ∠ θ₁) / (r₂ ∠ θ₂) = (r₁/r₂) ∠ (θ₁ − θ₂)
O argumento do divisor é sempre subtraído. Portanto, dividir por um número de argumento negativo equivale a subtrair um valor negativo.
Você pode somar ou subtrair voltas completas de 360° do argumento final para apresentar uma direção equivalente.
Na divisão, o módulo é escalado pela razão entre os módulos e a direção sofre a rotação oposta à do divisor.
Exemplo
Calcule:
(12 ∠ 30°) / (3 ∠ −45°)
Logo:
(12 ∠ 30°) / (3 ∠ −45°) = 4 ∠ 75°
Os parênteses ajudam a não perder o sinal negativo do argumento do divisor.
Uma divisão pode ser conferida pela operação inversa. Multiplique o quociente pelo divisor:
(4 ∠ 75°) × (3 ∠ −45°)
Módulo: 4 × 3 = 12
Argumento: 75° + (−45°) = 30°
O produto retorna a 12 ∠ 30°, o numerador original. Se não retornar, revise principalmente a ordem da subtração dos argumentos.
Atenção
O divisor deve ser diferente de zero. Como o zero tem módulo 0 e não possui argumento definido, a expressão z / 0 é indefinida; a fórmula polar não pode ser aplicada.
Já 0 / z = 0, desde que z ≠ 0. Esse resultado tem módulo zero e também não recebe argumento definido.
Dica
Não tente atribuir um ângulo ao resultado zero. O ângulo só descreve uma direção quando existe um módulo diferente de zero.
Complete a divisão em forma polar. Escreva o argumento na faixa 0° ≤ θ < 360°:
(18 ∠ 20°) / (6 ∠ −40°) = 3 ∠ ____
Digite o argumento normalizado, incluindo o símbolo °.
Qual é o resultado de 0 / (2 ∠ 10°)?
Passo 7 de 8
Use j como uma rotação de um quarto de volta para simplificar expressões e prever os sinais das componentes.
Como já sabemos, j² = −1. Na forma polar, j = 1 ∠ 90°: seu módulo é 1 e sua direção aponta para o eixo imaginário positivo.
Por isso, multiplicar um complexo não nulo por j preserva seu módulo e soma 90° ao argumento. É uma rotação de um quarto de volta no sentido anti-horário:
z · j = |z| ∠ (θ + 90°)
Multiplicar por j gira o vetor +90° e não muda seu módulo.
Pelas componentes, a mesma regra fica prática:
(a + jb) · j = aj + j²b = −b + ja
Assim, as componentes (a, b) passam a ser (−b, a). O novo sinal e a troca de posições são coerentes com a rotação anti-horária.
Dividir por j equivale a girar 90° no sentido horário. Para z não nulo:
z / j = |z| ∠ (θ − 90°)
O módulo continua igual; somente a direção muda.
Exemplo
A identidade algébrica confirma essa rotação:
1/j = j/j² = j/(−1) = −j
Logo, dividir por j é o mesmo que multiplicar por −j. Como −j aponta para −90°, o resultado gira um quarto de volta no sentido horário.
Para obter a regra direta pelas componentes, use z/j = z · (−j):
(a + jb)/j = b − ja
Portanto, as componentes (a, b) passam a ser (b, −a). Compare com a multiplicação: a troca ocorre no sentido oposto.
Associe cada operação ao resultado obtido a partir de z = a + jb. Observe a troca das componentes e os sinais: ela revela o sentido da rotação.
| Operação | Componentes do resultado | Rotação |
|---|---|---|
| z · j | (−b, a) | +90° |
| z / j | (b, −a) | −90° |
Exemplo
Se z = 3 − 2j, então:
O módulo de z é √13. Os dois resultados também têm módulo √13. Antes de fazer a conta algébrica, você pode prever os quadrantes pela rotação de +90° ou −90°.
Complete a identidade que permite transformar uma divisão por j em uma multiplicação.
1/j = ___
Calcule (2 + 5j) · j. Escreva o resultado na forma retangular.
Relacione cada operação sobre z = 3 − 2j ao resultado correspondente.
Toque em um item e depois no par correspondente.
Passo 8 de 8
Aplique formas retangular e polar em uma expressão integrada, verificando módulo, quadrante e direção.
Nesta aplicação, escolha a forma que torna cada operação mais direta:
A expressão abaixo reúne essas escolhas:
z = [ (3 + j4) + 2 ∠ 180° ] / (2 ∠ 0°) × j
Resolva primeiro o que está entre colchetes e parênteses. Mantenha os ângulos em graus e só arredonde no final.
Some pelas componentes; depois, para dividir e aplicar j, acompanhe módulo e direção.
1. Resolva a soma interna em retangular.
O termo polar 2 ∠ 180° aponta para a esquerda no eixo real:
2 ∠ 180° = 2(cos 180° + j sen 180°) = −2 + j0
Então:
(3 + j4) + (−2 + j0) = 1 + j4
2. Converta esse resultado para polar.
|1 + j4| = √(1² + 4²) = √17
Como as duas componentes são positivas, o ponto está no primeiro quadrante:
arg(1 + j4) = atan2(4, 1) ≈ 75,96°
Portanto, 1 + j4 = √17 ∠ 75,96°.
Com o numerador em polar, a continuação fica direta. O fator j pode ser escrito como 1 ∠ 90°.
| Operação | Módulo | Argumento | Resultado |
|---|---|---|---|
| √17 ∠ 75,96° ÷ 2 ∠ 0° | √17 ÷ 2 | 75,96° − 0° | √17/2 ∠ 75,96° |
| √17/2 ∠ 75,96° × 1 ∠ 90° | √17/2 × 1 | 75,96° + 90° | √17/2 ∠ 165,96° |
Exemplo
Para voltar à forma retangular:
(√17/2) cos(165,96°) + j(√17/2) sen(165,96°) = −2 + j0,5
O resultado final pode ser apresentado como:
z = −2 + j0,5 = √17/2 ∠ 165,96°
A conferência visual é coerente: o ângulo está no 2º quadrante, portanto a parte real é negativa e a parte imaginária é positiva.
Na expressão-modelo, após converter 2 ∠ 180° para a forma retangular e realizar a soma dentro dos parênteses, obtém-se:
(3 + j4) + 2 ∠ 180° =
Resolva sem consultar o modelo, registrando etapas curtas:
w = [ (4 − j3) + 5 ∠ 180° ] / (5 ∠ 0°) × j
Apresente w nas formas retangular e polar, com ângulo em graus. Em seguida, justifique a coerência pelo quadrante, pelo módulo e pela rotação causada por j.
Escreva pelo menos 80 caracteres (0/80).
Resumo
No próximo tutorial, esses cálculos servirão para representar senoides por fasores. Por enquanto, retenha a escolha central: componentes para somar e subtrair; módulo e direção para multiplicar e dividir.
Parabéns! Você concluiu: Operações com números complexos
Você concluiu as operações com números complexos e já consegue escolher a representação adequada, calcular e conferir resultados.
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