Orçamento de ruído de um estágio analógico

Um orçamento começa pelo recorte

Um orçamento de ruído registra quais fontes serão consideradas, por quais caminhos elas chegam a um mesmo ponto de avaliação e em qual banda suas contribuições serão avaliadas.

Neste tutorial, o ponto comum será a saída do buffer. O objetivo não é descrever todo ruído possível do circuito real, mas produzir uma estimativa útil sob condições explicitamente declaradas.

As três fontes do modelo

Vamos incluir somente estas contribuições:

• Ruído do resistor da rede RC.
• Ruído de tensão equivalente do amplificador operacional.
• Ruído de corrente na entrada não inversora do operacional.

A posição de uma fonte importa: o ruído do resistor nasce antes do filtro RC; já o ruído de tensão do operacional é acrescentado no buffer. O ruído de corrente será relacionado à impedância vista na entrada não inversora.

Nos próximos passos, cada contribuição receberá seu modelo e seu caminho até a saída.

Faixa útil não é automaticamente a banda de ruído

A faixa útil do sinal é a região de frequências que precisa ser preservada para a aplicação. Já a banda de avaliação do ruído é o intervalo no qual o orçamento contabiliza ruído na saída.

Elas podem coincidir, mas não devem ser confundidas. Por exemplo, um sinal útil pode ocupar até 1 kHz, enquanto o requisito do sistema pede contabilizar ruído de 10 Hz a 5 kHz. O orçamento vale exatamente para a banda declarada e para as hipóteses adotadas.

Uma densidade espectral informa como o ruído se distribui pela frequência. Ela ainda não é uma tensão eficaz total: para chegar a um valor eficaz, será necessário declarar uma banda e acumular as contribuições — etapa que virá depois.

Neste orçamento, os dados usam densidades unilaterais: consideramos somente frequências positivas. Use essa convenção de modo consistente em todos os valores fornecidos.

Há duas formas equivalentes de especificar a densidade de tensão:

• Densidade ao quadrado: \(S_v(f)\), em V²/Hz.
• Densidade de tensão: \(e_n(f)\), em V/√Hz.

Elas se relacionam ponto a ponto na frequência:

\[S_v(f) = e_n(f)^2\]

Assim, se uma folha de dados informa \(e_n = 10\text{ nV}/\sqrt{\text{Hz}}\), a densidade ao quadrado correspondente é \(100\text{ (nV)}^2/\text{Hz}}\). Não confunda nenhuma delas com uma tensão rms: ambas ainda carregam “por Hz” em sua unidade.

Em muitos componentes, existe uma região em que a densidade varia pouco com a frequência. Nela, o ruído é chamado de branco: o gráfico de \(e_n(f)\) fica aproximadamente plano.

Em baixas frequências, porém, é comum surgir um aumento. Um modelo típico diz que \(S_v(f)\) cresce aproximadamente como \(1/f\). Como \(e_n(f)=\sqrt{S_v(f)}\), sua curva também sobe ao se aproximar de frequências menores.

Portanto, um valor lido no patamar branco não deve ser tratado como válido automaticamente perto de 0 Hz.

Considere uma densidade de tensão constante e_n dentro de uma faixa ideal entre f_inferior e f_superior. A largura dessa banda é:

B = f_superior − f_inferior

Com uma transferência unitária na faixa, isto é, |H| = 1, o ruído eficaz acumulado é:

v_n,rms = e_n × √B

Use B em hertz. Essa aproximação vale para a região declarada como aproximadamente branca; ela não deve ser estendida automaticamente a frequências onde a densidade muda.

Uma densidade constante de 8 nV/√Hz é contabilizada de 2 kHz a 11 kHz, com transferência unitária. Complete o valor de ruído eficaz em nV_rms.

Todo resistor em temperatura acima de 0 K apresenta flutuações térmicas aleatórias. Para o orçamento, modele um resistor real como um resistor ideal R em série com uma fonte de tensão de ruído e_R.

A densidade de tensão de ruído em circuito aberto é:

e_R = √(4kTR)

• e_R em V/√Hz
• k ≈ 1,38 × 10⁻²³ J/K
• T em kelvins (K)
• R em ohms (Ω)

“Circuito aberto” significa que este é o ruído disponível nos terminais do resistor antes de considerar uma carga ou uma rede conectada a ele.

A temperatura na fórmula deve ser absoluta. Converta antes de calcular:

T(K) = temperatura(°C) + 273,15

Por exemplo, 27 °C correspondem a 300,15 K, aproximadamente 300 K. Não use diretamente a temperatura em °C em √(4kTR).

Para uma banda ideal B, sem carga, o valor eficaz é:

v_R,rms = √(4kTRB)

ou, de forma equivalente, v_R,rms = e_R × √B.

As unidades confirmam o resultado: (V/√Hz) × √Hz = V. Em geral, expresse o resultado em nV rms ou µV rms quando isso facilitar a leitura.

Agora calcule um caso novo, ainda sem carga: R = 2,5 kΩ, temperatura de 47 °C e banda ideal de 0 a 20 kHz.

Use T = 47 + 273,15 = 320,15 K, k = 1,38 × 10⁻²³ J/K e as fórmulas:

e_R = √(4kTR)

v_R,rms = e_R × √B

Arredonde a densidade para duas casas em nV/√Hz.

Um amplificador operacional pode acrescentar duas fontes de ruído que devem ser mantidas separadas no orçamento:

• Ruído de tensão equivalente, e_n: densidade em V/√Hz, modelada como uma pequena tensão na entrada.
• Ruído de corrente de entrada, i_n: densidade em A/√Hz, modelada como uma pequena corrente em uma entrada.

Elas têm unidades e caminhos de cálculo diferentes. O valor de e_n já é uma densidade de tensão. Já i_n precisa encontrar uma impedância para produzir uma densidade de tensão.

Para converter a corrente de ruído em tensão, use o módulo da impedância equivalente vista pela fonte de corrente:

e_i(f) = i_n(f) × |Z_eq(f)|

O resultado e_i(f) fica em V/√Hz. Faça a análise em cada frequência ou intervalo em que os dados forem fornecidos; não estenda automaticamente um número de catálogo para toda a banda.

No caso condutor, anule a fonte ideal de sinal: uma fonte ideal de tensão vira curto até a referência. Então, na entrada não inversora, a corrente de ruído vê o resistor R e o capacitor C ligados à referência em paralelo.

No estágio condutor, uma rede RC passa-baixas alimenta um buffer. Para levar ruído à saída, primeiro localize onde cada fonte nasce. Depois aplique somente o trecho do caminho entre essa fonte e a saída.

Para uma densidade de tensão, use:

e_saída,j(f) = e_j(f) × |H_j(f)|

Para densidade ao quadrado:

S_saída,j(f) = S_j(f) × |H_j(f)|²

O índice j importa: cada fonte pode ter uma transferência diferente. Não existe um único ganho que possa ser aplicado automaticamente a todo ruído do circuito.

Considere a frequência de 1 kHz. A rede RC tem |H_RC| = 0,707 e o buffer tem ganho de ruído igual a 1. As densidades já avaliadas nessa frequência são:

• resistor: e_R = 12 nV/√Hz;
• operacional, ruído de tensão: e_n = 8 nV/√Hz;
• operacional, ruído de corrente: i_n = 0,5 pA/√Hz;
• impedância vista pela entrada: |Z_eq| = 10 kΩ.

Para a corrente, primeiro: e_i = 0,5 pA/√Hz × 10 kΩ = 5 nV/√Hz.

Em uma configuração inversora, não confunda o ganho do sinal com o ganho de ruído. Se R_f/R_in = 10:

• ganho do sinal: −R_f/R_in = −10;
• ganho de ruído para uma perturbação equivalente na entrada não inversora: 1 + R_f/R_in = 11.

Logo, se o ruído de tensão equivalente do operacional for 4 nV/√Hz, sua densidade na saída será 4 × 11 = 44 nV/√Hz, nas condições em que essa resposta foi declarada.

O sinal é invertido; o ganho de ruído, nesse modelo, é positivo e tem módulo 11.

Associe cada fonte ao fator que deve ser usado para obter sua densidade de saída no caso RC seguido de buffer em 1 kHz.

No caso do RC seguido de buffer, depois de calcular e_i(f) = i_n(f) × |Z_eq(f)|, deve-se multiplicar novamente por |H_RC(f)| para obter a contribuição de saída.

Para uma fonte de ruído cuja densidade ou transferência varia com a frequência, divida a banda declarada em poucos intervalos. Para cada intervalo, use valores representativos já fornecidos para a densidade de amplitude e_j(f_i) e para o módulo da transferência até a saída |H_j(f_i)|.

A contribuição de cada intervalo é uma variância de tensão:

v²_i = e_j(f_i)² × |H_j(f_i)|² × Δf_i

Depois, some todas as variâncias e extraia uma única raiz:

v_j,rms ≈ √(Σv²_i)

Δf_i deve estar em hertz. Mesmo se a frequência estiver desenhada em escala logarítmica, 100 Hz a 1 kHz tem largura de 900 Hz, enquanto 1 kHz a 5 kHz tem largura de 4.000 Hz.

Considere uma única fonte com densidade de amplitude e_j e transferência até a saída |H_j| fornecidas para três intervalos. Os valores representativos não precisam ser iguais entre os intervalos.

Agora aplique o mesmo procedimento a outra fonte. Use os valores representativos fornecidos e calcule a última coluna antes de obter o resultado eficaz.

Agora, todas as fontes já foram levadas até o mesmo ponto: a saída. Para fechar o orçamento, compare apenas valores eficazes calculados na mesma banda e referidos a esse mesmo ponto.

Se as fontes são não correlacionadas, some suas contribuições em tensão ao quadrado e só então extraia a raiz:

v_total,rms = √(v₁,rms² + v₂,rms² + v₃,rms²)

Não some diretamente os valores eficazes. Essa soma seria uma estimativa excessiva para fontes de ruído independentes.

Considere um orçamento na saída do buffer, avaliado de 10 Hz a 10 kHz. A etapa anterior forneceu estes valores eficazes de saída:

Ainda no exemplo, o sinal útil na saída é 10 mV rms. Com ruído total de 1,56 µV rms:

SNR = 20 × log₁₀(10 mV / 1,56 µV) ≈ 76,1 dB

Se a exigência mínima for 70 dB, o estágio atende: 76,1 dB é maior que 70 dB.

A SNR só é válida nessa comparação porque sinal e ruído estão ambos referidos à saída, e o ruído foi acumulado na banda declarada.

Agora feche outro orçamento, independente do exemplo anterior. Todas as linhas abaixo já estão referidas à saída do buffer e foram obtidas na mesma banda declarada. Use cada fonte física uma única vez.

Some primeiro as três parcelas em µV² e extraia a raiz quadrada. Não use a soma direta de 0,90 + 1,10 + 0,50.

A fonte dominante é a que tem a maior contribuição em tensão ao quadrado no ponto de saída. Compare essas parcelas antes de olhar apenas os valores eficazes: é assim que se vê qual fonte pesa mais no total.

No orçamento abaixo, as fontes já foram levadas até a saída e integradas na mesma banda. A soma é 100 µV²; portanto, o ruído total é √100 = 10 µV rms. O resistor, com 64 µV², responde por 64% do total e é o primeiro alvo lógico de melhoria.

Uma mudança deve ser julgada pelo orçamento recalculado, não por uma regra isolada.

• Reduzir R diminui o ruído térmico, mas também muda a impedância vista pelo ruído de corrente e pode mudar a transferência. Recalcule todas as parcelas afetadas.
• Um operacional de menor ruído de tensão pode apresentar maior ruído de corrente. A troca só é vantagem depois de considerar a impedância e a banda.
• Reduzir a banda pode diminuir o ruído acumulado, mas só é válido se a faixa útil do sinal continuar preservada.

Caso integrado

Feche o orçamento na saída do buffer, para a banda de 10 Hz a 10 kHz. Considere operação linear, três fontes não correlacionadas e despreze as demais fontes do modelo.

O estágio é uma rede RC passa-baixas seguida de buffer unitário, com R = 10 kΩ, temperatura de 27 °C e f_c = 5 kHz. O sinal útil de saída é 10 mV rms e deve ser preservado até 10 kHz. A meta é SNR ≥ 76 dB.

A tabela usa dois intervalos: 10 Hz–1 kHz, com Δf = 990 Hz, e 1 kHz–10 kHz, com Δf = 9.000 Hz. Os valores representativos são fornecidos para 500 Hz e 5,5 kHz. Para o ruído de tensão do operacional, o valor de 10 nV/√Hz no primeiro intervalo já incorpora o aumento em baixas frequências considerado neste caso.

Use as densidades de saída da última coluna de cada frequência. Elas foram obtidas com as transferências e impedâncias indicadas: o resistor atravessa a rede RC; o ruído de tensão do operacional tem ganho de ruído unitário; e a corrente foi convertida por i_n × |Z_eq|, sem aplicar o RC uma segunda vez.

Para cada fonte, calcule primeiro a variância acumulada:

v² = e_500² × 990 + e_5,5k² × 9.000

Como as densidades estão em nV/√Hz, o resultado intermediário estará em nV². Converta para V² multiplicando por 10⁻¹⁸, se desejar registrar nessa unidade. Em seguida, calcule v_rms = √v².

Não combine as três fontes ainda: esta etapa fecha uma linha do orçamento por vez.

A maior variância original é a do resistor. Compare as alternativas já recalculadas para a mesma banda de 10 Hz a 10 kHz. A alternativa A reduz R para 5 kΩ e dobra C para preservar f_c = 5 kHz; por isso, mantém a resposta útil do RC. Os resultados incluem os efeitos sobre ruído térmico e impedância vista pela corrente.