Passo 1 de 7
Escolha a referência e identifique as incógnitas
Defina o nó de 0 V e separe tensões já impostas por uma fonte das tensões que precisam ser determinadas.
Trilha de aprendizado · Nível 2 · Tutorial 7
Analisar redes resistivas começando por um nó de tensão desconhecida e avançando até dois nós, incluindo uma ponte não redutível por série e paralelo.
Escolha a referência e identifique as incógnitas
Defina o nó de 0 V e separe tensões já impostas por uma fonte das tensões que precisam ser determinadas. 2 min
Escreva a corrente pela diferença de tensões
Use a diferença entre as tensões nodais para escrever e interpretar a corrente orientada em qualquer resistor. 3 min
Resolva uma rede com um nó desconhecido
Monte e resolva uma equação nodal para uma rede resistiva com uma única tensão desconhecida. 4 min
Modele uma ponte com dois nós desconhecidos
Modele uma ponte resistiva com dois nós desconhecidos e construa duas equações nodais acopladas. 4 min
Encontre as duas tensões nodais
Resolva as equações acopladas de uma ponte resistiva por substituição e valide as duas tensões nodais. 3 min
Calcule as correntes e confira a conservação
Calcule as correntes dos cinco ramos de uma ponte resistiva e confirme o balanço de corrente nos nós A e B. 4 min
Desafio final: analise uma ponte completa
Desafio integrador de análise nodal em uma nova ponte resistiva com dois nós desconhecidos. 5 min
Passo 1 de 7
Defina o nó de 0 V e separe tensões já impostas por uma fonte das tensões que precisam ser determinadas.
A análise nodal é um método para determinar as tensões dos nós de uma rede. Ela é especialmente útil quando não é possível simplificar o circuito apenas com associações em série e paralelo.
O ponto de partida é escolher um nó como referência. Por convenção, sua tensão é 0 V. Então, cada tensão nodal passa a significar a diferença de potencial entre aquele nó e a referência.
Nos exemplos deste tutorial, estudaremos redes resistivas em CC, de forma teórica, com fontes ideais de até 12 V e no máximo dois nós de tensão desconhecida. Não haverá montagem física.
Observe a estrutura: uma mesma rede pode ter um nó escolhido como referência, um nó cuja tensão é definida pela fonte e nós intermediários cuja tensão ainda precisa ser encontrada.
A referência organiza todas as tensões nodais do esquema.
A referência é uma convenção matemática: você pode escolhê-la em qualquer nó do circuito. Depois de escolhida, ela vale 0 V.
O símbolo de referência no esquema facilita a leitura, mas não significa automaticamente uma conexão física à terra. Em uma análise no papel, ele apenas define de onde as tensões serão medidas.
Em geral, é prático escolher um nó com muitas conexões, como o retorno comum da fonte e dos resistores. Isso reduz a quantidade de tensões a acompanhar.
Dica
Classifique cada nó em seguida:
Resistores não impõem, sozinhos, uma tensão conhecida a um nó.
Considere uma fonte ideal de 9 V entre a referência e um nó X:
A tensão conhecida depende da polaridade indicada. Já um nó ligado à fonte por meio de um ou mais resistores continua sendo, em princípio, uma incógnita.
Atenção
Em um esquema, procure primeiro a fonte conectada diretamente entre um nó e a referência. Só essa ligação direta fixa a tensão daquele nó neste escopo.
Fontes entre dois nós que não são a referência, fontes dependentes e supernós não fazem parte deste tutorial.
Uma fonte ideal de 12 V tem o terminal negativo conectado à referência. Seu terminal positivo alimenta o nó P. Os nós A e B são pontos intermediários ligados apenas por resistores entre P e a referência.
Associe cada identificação à classificação correta.
Classifique os elementos do esquema descrito.
| Elemento | Conexão relevante |
|---|---|
| Referência | Terminal negativo da fonte |
| Nó P | Terminal positivo da fonte de 12 V |
| Nó A | Ligado por resistores a P e à referência |
| Nó B | Ligado por resistores a P e à referência |
Faça as associações corretas.
Toque em um item e depois no par correspondente.
Passo 2 de 7
Use a diferença entre as tensões nodais para escrever e interpretar a corrente orientada em qualquer resistor.
Para escrever a corrente em um resistor, escolha antes um sentido de referência. Por exemplo, do nó A para o nó B. Essa seta é uma convenção de cálculo: ela não precisa coincidir, inicialmente, com o sentido físico da corrente.
Se os nós têm tensões V_A e V_B, ambas medidas em relação ao nó de referência, a corrente orientada de A para B é:
I_AB = (V_A − V_B) / R
O numerador é a diferença de tensão entre os terminais do resistor na direção escolhida. Não confunda a tensão de um nó, como V_A, com a tensão no resistor: para a orientação A → B, ela é V_A − V_B.
A expressão usa a tensão do terminal de partida menos a tensão do terminal de chegada.
Exemplo
Quando um terminal do resistor está na referência, sua tensão é 0 V. Portanto, para um resistor de A até a referência:
I_Aref = (V_A − 0) / R = V_A / R
Exemplo: V_A = 6 V e R = 2 kΩ.
I_Aref = 6 V / 2 kΩ = 3 mA.
Já entre dois nós não nulos, subtraia as duas tensões. Se V_A = 8 V, V_B = 2 V e R = 3 kΩ, então:
I_AB = (8 V − 2 V) / 3 kΩ = 2 mA.
Como o resultado é positivo, a corrente física segue a orientação A → B escolhida.
Dica
Usar V e kΩ produz o resultado em mA; usar V e Ω produz A. Mantenha as unidades consistentes antes de interpretar o valor.
Um valor negativo não é erro: ele informa que o sentido físico é oposto ao sentido de referência escolhido.
Considere V_A = 2 V, V_B = 8 V e R = 3 kΩ, mantendo a orientação A → B:
I_AB = (2 V − 8 V) / 3 kΩ = −2 mA
A corrente física tem módulo de 2 mA e flui de B para A. Se você tivesse definido a corrente como I_BA, obteria +2 mA. Muda o sinal da descrição; o fenômeno físico é o mesmo.
A seta escolhida define o sinal da corrente calculada; a diferença de tensões determina o sentido físico.
Para a corrente orientada de A para B em um resistor de 4 kΩ, com V_A = 10 V e V_B = 4 V, complete o numerador da expressão:
I_AB = ({{1}}) / 4 kΩ
Preencha a lacuna com a diferença de tensões correta.
Associe cada condição ao resultado para uma corrente de referência orientada de A para B.
Toque em um item e depois no par correspondente.
Passo 3 de 7
Monte e resolva uma equação nodal para uma rede resistiva com uma única tensão desconhecida.
Considere um nó desconhecido VX ligado a três ramos: um resistor de 2 kΩ até um nó conhecido de 12 V, um resistor de 3 kΩ até um nó conhecido de 6 V e um resistor de 6 kΩ até a referência (0 V).
Escolha todas as correntes saindo de VX. A lei das correntes no nó fica:
I12V + I6V + I0V = 0
Essa é uma soma algébrica: uma corrente calculada negativa não é erro; ela indica que, fisicamente, a corrente entra em VX.
As setas definem os sentidos de referência; os sentidos físicos serão confirmados pelos sinais dos resultados.
Para cada ramo, escreva a tensão do nó de partida menos a tensão do nó de chegada, dividida pela resistência. Como todos os sentidos escolhidos partem de VX:
Exemplo
Ramo até 12 V: (VX − 12 V) / 2 kΩ
Ramo até 6 V: (VX − 6 V) / 3 kΩ
Ramo até a referência: (VX − 0 V) / 6 kΩ
Portanto:
(VX − 12)/2 kΩ + (VX − 6)/3 kΩ + VX/6 kΩ = 0
Você pode usar V e kΩ juntos: cada parcela resultará em mA. Os parênteses preservam a diferença de tensão de cada resistor.
Por que o termo do ramo ligado a 12 V é (VX − 12)/2 kΩ, e não 12/2 kΩ?
Porque a corrente depende da diferença de tensão entre os dois terminais do resistor.
Exemplo
Agora resolva a equação sem eliminar os sinais. Multiplique todos os termos por 6 kΩ, o mínimo múltiplo das resistências:
3(VX − 12) + 2(VX − 6) + VX = 0
Expandindo:
3VX − 36 + 2VX − 12 + VX = 0
6VX − 48 = 0
Logo, VX = 8 V. O resultado está entre 0 V e 12 V, como é compatível com esta rede resistiva.
Dica
Com VX = 8 V, as correntes orientadas para fora são:
• Até 12 V: (8 − 12)/2 kΩ = −2 mA
• Até 6 V: (8 − 6)/3 kΩ = +0,667 mA
• Até 0 V: 8/6 kΩ = +1,333 mA
A soma é −2 + 0,667 + 1,333 = 0 mA. A parcela negativa mostra que 2 mA entram em VX vindos do nó de 12 V; as outras duas saem. A lei das correntes é satisfeita.
Uma variação tem um nó VY ligado a 9 V por 3 kΩ, a 3 V por 3 kΩ e à referência por 6 kΩ. Adote todas as correntes saindo de VY.
Complete a tensão nodal que faz a soma das correntes ser zero.
VY = ____ V
Passo 4 de 7
Modele uma ponte resistiva com dois nós desconhecidos e construa duas equações nodais acopladas.
Considere a ponte que será usada nos próximos passos. O trilho superior está em +12 V e o inferior é a referência, 0 V.
• R1 = 2 kΩ entre +12 V e A
• R2 = 4 kΩ entre A e 0 V
• R3 = 4 kΩ entre +12 V e B
• R4 = 2 kΩ entre B e 0 V
• R5 = 4 kΩ entre A e B
Os pontos intermediários A e B não são fixados diretamente pela fonte. Portanto, suas tensões em relação à referência são as incógnitas VA e VB.
Cada nó desconhecido tem três ramos conectados, incluindo o resistor R5 compartilhado entre A e B.
Dica
Por que não usar dois divisores independentes?
Sem R5, cada lado poderia ser analisado como um divisor de tensão. Porém, R5 cria uma derivação em A e outra em B: a corrente nesse resistor depende da diferença entre VA e VB.
Por isso, R1 e R2 não estão em série: o nó A tem uma terceira conexão. O mesmo vale para R3 e R4 no nó B. A presença de R5 também impede tratar os dois lados como divisores independentes. A análise nodal mantém todas essas conexões explicitamente.
Exemplo
Adote todas as correntes saindo do nó A. Há três ramos conectados a ele:
• de A até o nó conhecido de 12 V, por R1;
• de A até a referência de 0 V, por R2;
• de A até B, por R5.
Aplicando a lei das correntes, a soma algébrica das correntes orientadas para fora é zero:
(VA − 12)/2 kΩ + VA/4 kΩ + (VA − VB)/4 kΩ = 0
O último termo é o ramo de ligação. Ele introduz VB na equação do nó A.
Exemplo
Agora adote também todas as correntes saindo do nó B. Seus três ramos vão até 12 V, 0 V e A:
(VB − 12)/4 kΩ + VB/2 kΩ + (VB − VA)/4 kΩ = 0
Compare os termos de R5:
• visto saindo de A: (VA − VB)/4 kΩ
• visto saindo de B: (VB − VA)/4 kΩ
Eles descrevem o mesmo resistor, mas com sentidos de referência opostos. É esse ramo que acopla as duas equações. Neste momento, monte e organize o sistema; a resolução das tensões vem no próximo passo.
Qual equação representa corretamente o nó A da ponte, adotando correntes orientadas para fora de A?
Complete o numerador do termo de R5 na equação do nó B, quando a corrente é orientada de B para A:
IB→A = ({{1}}) / 4 kΩ
Antes de seguir, confira esta sequência:
1. Escolha a referência e identifique VA e VB.
2. Liste todos os ramos ligados a cada nó.
3. Escolha uma convenção única: aqui, correntes saindo de cada nó.
4. Escreva cada ramo como (tensão do nó − tensão do outro terminal)/resistência.
5. Inclua R5 nas duas equações, com numeradores em ordem oposta.
O resultado é um sistema de duas equações lineares acopladas. No próximo passo, ele será organizado e resolvido para encontrar as duas tensões nodais.
Atenção
Não omita R5 nem copie seu termo com o mesmo sinal nas duas linhas. Embora seja um único resistor físico, ele entra em cada equação porque está conectado aos dois nós desconhecidos. As orientações escolhidas em A e B são opostas nesse ramo.
Passo 5 de 7
Resolva as equações acopladas de uma ponte resistiva por substituição e valide as duas tensões nodais.
Nesta ponte, mantenha cada equação associada ao seu nó: a primeira determina V_A e a segunda, V_B. Como as resistências estão em kΩ e as tensões em V, cada parcela de corrente fica em mA.
A partir das equações nodais obtidas no passo anterior, multiplicamos cada uma por 4 para eliminar os denominadores:
Os termos com sinal negativo vêm do resistor que liga os dois nós. Preserve-os ao reorganizar o sistema.
Os nós A e B são as incógnitas do sistema; o resistor central faz as duas equações dependerem uma da outra.
Use substituição sem trocar a identidade das equações. Isole uma incógnita na equação mais conveniente e leve a expressão para a outra.
Da equação do nó A:
4V_A − V_B = 24 V
isole V_B:
V_B = 4V_A − 24 V
Agora substitua essa expressão na equação do nó B, −V_A + 4V_B = 12 V. Os parênteses são indispensáveis: todo o termo substituído está sendo multiplicado por 4.
Exemplo
Substituição na equação do nó B:
−V_A + 4(4V_A − 24 V) = 12 V
−V_A + 16V_A − 96 V = 12 V
15V_A = 108 V
V_A = 7,2 V
Retornando à expressão isolada:
V_B = 4(7,2 V) − 24 V = 4,8 V
Portanto, o par de tensões nodais é (V_A, V_B) = (7,2 V; 4,8 V).
Complete a etapa final da substituição:
15V_A = 108 V
Logo, V_A = ____.
Verifique o par encontrado nas duas equações originais, não apenas naquela em que você fez a substituição.
Para V_A = 7,2 V e V_B = 4,8 V:
Os dois resultados coincidem com os lados direitos do sistema. Assim, as duas condições nodais são atendidas simultaneamente.
Qual par satisfaz simultaneamente o sistema abaixo?
4V_A − V_B = 24 V
−V_A + 4V_B = 12 V
Passo 6 de 7
Calcule as correntes dos cinco ramos de uma ponte resistiva e confirme o balanço de corrente nos nós A e B.
Considere a ponte já resolvida: fonte de 12 V; R1 = 2 kΩ entre 12 V e A; R2 = 4 kΩ entre A e a referência; R3 = 4 kΩ entre 12 V e B; R4 = 2 kΩ entre B e a referência; e R5 = 4 kΩ entre A e B.
As tensões nodais encontradas foram V_A = 7,2 V e V_B = 4,8 V. Agora, recupere a corrente de cada resistor usando a orientação de referência declarada para aquele ramo.
As setas definem apenas o sentido de referência. Um resultado negativo indica que a corrente física percorre o ramo na direção oposta.
Para cada ramo, aplique I = (V_inicial − V_final)/R seguindo a seta escolhida. Como V está em volts e R em kΩ, o resultado sai diretamente em mA.
No ramo compartilhado, foi escolhida a orientação B → A:
I_BA = (V_B − V_A)/R5 = (4,8 − 7,2)/4 = −0,6 mA.
O sinal negativo não significa “corrente negativa fisicamente”: ele informa que a corrente real de 0,6 mA flui de A para B.
Resultados para as orientações mostradas no esquema.
| Ramo e orientação | Cálculo (mA) | Valor com sinal | Sentido físico |
|---|---|---|---|
| R1: A → 12 V | (7,2 − 12)/2 | −2,4 mA | 12 V → A |
| R2: A → referência | (7,2 − 0)/4 | +1,8 mA | A → referência |
| R3: B → 12 V | (4,8 − 12)/4 | −1,8 mA | 12 V → B |
| R4: B → referência | (4,8 − 0)/2 | +2,4 mA | B → referência |
| R5: B → A | (4,8 − 7,2)/4 | −0,6 mA | A → B |
Com a orientação de referência B → A no resistor de ligação R5, complete o valor da corrente.
I_BA = (4,8 V − 7,2 V) / 4 kΩ = {{1}}
Digite o resultado com sinal e unidade.
I_BA = (V_B − V_A)/R5 =
Faça a conferência sem repetir toda a resolução. No nó A, entram 2,4 mA por R1 e saem 1,8 mA por R2 mais 0,6 mA por R5: 2,4 = 1,8 + 0,6 mA.
No nó B, entram 1,8 mA por R3 mais 0,6 mA por R5 e saem 2,4 mA por R4: 1,8 + 0,6 = 2,4 mA.
No ramo compartilhado, a mesma corrente aparece nos dois balanços, mas com papéis opostos: ela sai de A e entra em B. Se usar orientações opostas, I_AB = −I_BA. Diferenças muito pequenas podem vir de arredondamento; uma diferença grande costuma indicar sinal trocado ou ramo esquecido.
Associe cada descrição ao valor ou à soma correta no balanço de correntes.
Toque em um item e depois no par correspondente.
Passo 7 de 7
Desafio integrador de análise nodal em uma nova ponte resistiva com dois nós desconhecidos.
Neste desafio, use uma ponte diferente das anteriores. O trilho superior é um nó conhecido de +10 V; o trilho inferior é a referência, 0 V.
Registre A e B como tensões desconhecidas VA e VB. Para as equações nodais, adote todas as correntes saindo do nó que está sendo analisado. Use V e kΩ para obter correntes em mA.
A ligação entre A e B impede analisar os dois ramos como divisores independentes.
Escreva, em linhas separadas, as duas equações nodais desta ponte: uma para A e outra para B. Inclua os três ramos conectados a cada nó e iguale cada soma a zero.
Use a convenção pedida: correntes saindo do respectivo nó. Não simplifique ainda; mantenha os termos como diferenças de tensão divididas pelas resistências.
Escreva pelo menos 70 caracteres (0/70).
Compare seu registro com a forma esperada:
Nó A: (VA − 10)/2 + VA/3 + (VA − VB)/6 = 0
Nó B: (VB − 10)/3 + VB/2 + (VB − VA)/6 = 0
Multiplicando ambas por 6 e reorganizando, obtém-se o sistema:
6VA − VB = 30 V
−VA + 6VB = 20 V
O termo de R5 é o vínculo entre as duas incógnitas.
Resolva o sistema por substituição. Primeiro, isole VB na primeira equação; depois substitua na segunda.
Complete a tensão encontrada para o nó A. Aceite arredondamento com duas casas decimais.
Escreva pelo menos 3 caracteres (0/3).
Agora complete a outra tensão nodal: VB = {{1}} V.
A solução da ponte é:
VA = 40/7 V ≈ 5,71 V
VB = 30/7 V ≈ 4,29 V
Validação rápida:
Logo, o mesmo par satisfaz as duas condições nodais.
Com VA = 5,71 V e VB = 4,29 V, calcule as cinco correntes usando estas orientações de referência:
Registre cada valor com sinal e unidade. Depois, diga o sentido físico das correntes que derem negativas.
Escreva pelo menos 120 caracteres (0/120).
Confira os resultados. Valores arredondados podem variar um pouco.
A corrente em R5 é positiva na orientação A → B: ela sai de A e entra em B. Já R1 e R3 deram negativos porque as correntes físicas vêm do trilho de 10 V para os nós intermediários.
| Resistor | Orientação | Resultado | Sentido físico |
|---|---|---|---|
| R1 | A → 10 V | −2,143 mA | 10 V → A |
| R2 | A → 0 V | +1,905 mA | A → 0 V |
| R3 | B → 10 V | −1,905 mA | 10 V → B |
| R4 | B → 0 V | +2,143 mA | B → 0 V |
| R5 | A → B | +0,238 mA | A → B |
Faça os dois balanços usando as correntes físicas. Indique o que entra e o que sai de cada nó.
Dica: no nó A, R1 entra e R2/R5 saem. No nó B, R3/R5 entram e R4 sai.
Escreva pelo menos 100 caracteres (0/100).
Resumo
Use este roteiro para redes resistivas com até dois nós desconhecidos.
Parabéns! Você concluiu: Análise nodal de redes resistivas
Desafio concluído! Você aplicou a análise nodal completa a uma ponte resistiva com dois nós desconhecidos.
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