Orçamento de erro da cadeia de medição

Modele a medição como uma sequência de cinco grandezas:

1. temperatura aplicada ao modelo, \(T\);
2. tensão real do sensor, \(V_S\);
3. tensão real na entrada do ADC, \(V_A\), após o condicionamento;
4. código inteiro produzido pelo ADC, \(C\);
5. temperatura calculada pelo firmware, \(\hat T\).

Os valores físicos podem diferir dos nominais. Por exemplo, o ganho real é \(G\), enquanto o firmware usa a constante fixa \(G_N\). O orçamento de erro investigará justamente as consequências dessas diferenças, inicialmente sem correção de calibração.

Para o TMP36 ideal, use os coeficientes nominais:

\[
V_S=0{,}500\ \text{V}+0{,}010\ \text{V/°C}\cdot T
\]

Com ganho nominal \(G_N\), a tensão nominal no ADC é \(V_A=G_N V_S\).

Adote uma convenção única para o ADC de 10 bits: há 1024 códigos possíveis, de 0 a 1023, e a largura nominal de um intervalo é:

\[
q_V=\frac{V_{REF,N}}{1024}
\]

Neste tutorial, o firmware reconstrói a tensão pela expressão \(V_{A,fw}=C\,V_{REF,N}/1024\). Portanto, o código máximo 1023 reconstrói \(V_{REF,N}-q_V\), e não exatamente \(V_{REF,N}\). Essa é a convenção de escala do firmware; quantização e limites de transição serão tratados depois.

Trecho para estudar ou usar no firmware. As constantes são nominais; não há correção por calibração.

Em forma algébrica, a mesma conversão nominal é:

\[
\hat T=
\frac{\left(\frac{C\,V_{REF,N}}{1024\,G_N}\right)-0{,}500\ \text{V}}
{0{,}010\ \text{V/°C}}
\]

A ordem importa: o código vira tensão no ADC; a divisão por \(G_N\) a refere à saída do sensor; só então são removidos os 500 mV a 0 °C e aplicada a sensibilidade de 10 mV/°C.

Defina o erro da cadeia como:

\[
e_T=\hat T-T
\]

Erro positivo indica leitura acima da temperatura de entrada; erro negativo indica leitura abaixo.

Parta da expressão nominal já obtida, agora escrita em função da tensão no nó de entrada do ADC, \(V_A\):

\[
\hat T=\frac{V_A/G_N-0{,}500\ \text{V}}{0{,}010\ \text{V/°C}}
\]

A sensibilidade a um parâmetro ou perturbação \(p\) responde: quanto \(\hat T\) muda para cada unidade de mudança em \(p\), mantendo a temperatura de entrada e os demais parâmetros fixos.

\[
S_p=\frac{\Delta\hat T}{\Delta p}
\qquad\Rightarrow\qquad
\Delta\hat T\approx S_p\,\Delta p
\]

O coeficiente traz unidade e sinal. Por exemplo, \(+25\ \text{°C/V}\) indica que elevar o parâmetro em 1 mV eleva \(\hat T\) em aproximadamente 0,025 °C. A meta é converter cada perturbação para a unidade final comum: °C.

Isole o termo que contém \(V_A\):

\[
\hat T=\frac{V_A}{0{,}010\,G_N}-50
\]

Portanto, para uma perturbação inserida diretamente no nó do ADC:

\[
S_{V_A}=\frac{1}{0{,}010\,G_N}\quad[\text{°C/V}]
\]

Para os cálculos numéricos deste step, use \(G_N=4{,}000\), o ganho nominal do caso que será consolidado no orçamento. Assim:

\[
S_{V_A}=\frac{1}{0{,}010\times4}=+25\ \text{°C/V}
\]

O sinal é positivo: elevar \(V_A\) eleva a temperatura calculada. Logo, \(+4\ \text{mV}\) nesse nó correspondem a \((+25)(+0{,}004)=+0{,}10\ \text{°C}\).

Também é possível obter uma sensibilidade sem cálculo diferencial. Avalie o mesmo modelo duas vezes, alterando somente o parâmetro de interesse:

\[
S_p\approx\frac{\hat T(p+\Delta p)-\hat T(p)}{\Delta p}
\]

Por exemplo, com \(G_N=4\), aumentar \(V_A\) de 2,000 V para 2,004 V aumenta \(\hat T\) em 0,100 °C. Logo, \(S_{V_A}\approx0{,}100/0{,}004=+25\ \text{°C/V}\).

Em um coeficiente negativo, as direções se invertem: \(-30\ \text{°C/V}\) significa que acrescentar 1 mV reduz o resultado em aproximadamente 0,030 °C.

No caso numérico deste step, \(G_N=4{,}000\). Uma perturbação de \(+3\ \text{mV}\) é inserida diretamente no nó \(V_A\), depois do ganho e antes do ADC.

Complete o coeficiente e a contribuição estimada. Use volts na multiplicação: \(+3\ \text{mV}=+0{,}003\ \text{V}\).

Considere o condicionador não inversor do caso deste step: \(R_f=30{,}0\ \text{kΩ}\pm1\%\), \(R_g=10{,}0\ \text{kΩ}\pm1\%\) e ganho nominal usado pelo firmware:

\[
G_N=1+\frac{R_f}{R_g}=1+\frac{30}{10}=4{,}000
\]

Aplique a tolerância primeiro aos resistores:

• \(R_f\): 29,70 a 30,30 kΩ;
• \(R_g\): 9,90 a 10,10 kΩ.

A razão \(R_f/R_g\) não recebe simplesmente “±2%”. Para obter seus limites, use combinações opostas e admissíveis: \(R_f\) mínimo com \(R_g\) máximo produz a menor razão; \(R_f\) máximo com \(R_g\) mínimo produz a maior razão. Só depois some o termo fixo 1 para encontrar o ganho.

A tolerância é aplicada aos resistores; a consequência aparece primeiro na razão e depois no ganho. Os dois resistores devem ir a extremos opostos para maximizar ou minimizar a razão.

A razão nominal é 3,0000. Seus desvios pelos extremos são aproximadamente −1,98% e +2,02%. Porém, o ganho completo contém o termo 1:

\[
G=1+\frac{R_f}{R_g}
\]

Assim, em relação a \(G_N=4,000\):

• \(G_{min}=3,9406\): −1,485%;
• \(G_{max}=4,0606\): +1,515%.

Logo, a tolerância individual de cada resistor não é, por si só, a variação percentual do ganho. E os limites podem ser assimétricos: preserve os dois valores em vez de arredondá-los prematuramente para um único ±%.

Sem calibração, o firmware continua usando \(G_N=4\). Para o TMP36 ideal:

\[
V_S(T)=0{,}500+0{,}010T
\]
\[
T_{calc}=\frac{G\,V_S(T)/G_N-0{,}500}{0{,}010}
\]

O ganho real \(G\) multiplica toda a tensão \(V_S\), inclusive os 500 mV existentes a 0 °C. Portanto, erro de ganho não é um percentual aplicado diretamente à temperatura em °C.

No extremo de 50 °C, \(V_S=1,000\) V. Mesmo com \(G_{max}=4,0606\), a entrada analógica é aproximadamente 4,061 V, abaixo de 5,000 V. O exemplo permanece dentro da faixa do ADC, supondo também que o condicionador tenha excursão de saída compatível.

Para uma variação pequena perto de \(G_N\), mantendo \(T\) fixo:

\[
\Delta T_{calc}\approx\frac{V_S(T)}{G_N\cdot0{,}010}\,\Delta G
\]

Em 50 °C, \(V_S=1,000\) V e \(G_N=4\). A sensibilidade local ao ganho é \(+25\ \text{°C}\) por unidade de ganho. Aplicada aos desvios \(\Delta G\), ela fornece aproximadamente −1,485 °C e +1,515 °C.

Neste modelo, \(T_{calc}\) é linear em \(G\), então a aproximação coincide com a avaliação pelos extremos. Ainda assim, o cálculo pelos extremos é o registro mais direto dos limites e mantém sua assimetria.

Use os limites dos resistores e o ponto \(T=50\) °C. Considere \(V_S=1,000\) V, \(G_N=4,000\) e \(e_G=T_{calc}-T\). Complete os ganhos extremos e suas contribuições de ganho. Use quatro casas decimais nos ganhos e três nas contribuições.

Dois pontos de entrada, uma unidade comum

No modelo já usado, a saída ideal do sensor é:

\[
V_S=0{,}500\text{ V}+0{,}010\text{ V/°C}\cdot T
\]

Represente um erro do sensor como uma temperatura equivalente \(e_S\):

\[
V_S=0{,}500+0{,}010(T+e_S)
\]

Assim, se a especificação aplicável do sensor limita \(e_S\) a ±2 °C, sua contribuição para o orçamento é diretamente ±2 °C. Não a multiplique pelo ganho do condicionador: ela já entrou antes dele como variação equivalente de temperatura.

Use esse limite somente na faixa de temperatura, alimentação, montagem e demais condições declaradas pela especificação consultada.

Para o amplificador não inversor, com ganho nominal

\[
G_N=1+\frac{R_f}{R_g},
\]

o offset de entrada \(V_{OS}\) produz, na saída analógica, aproximadamente:

\[
\Delta V_O=G_N\,V_{OS}
\]

A conversão nominal da cadeia divide a tensão de saída por \(G_N\) e pela sensibilidade do sensor \(S=10\text{ mV/°C}\). Logo:

\[
\Delta T_{OS}=\frac{G_N V_{OS}}{G_N S}=\frac{V_{OS}}{S}
\]

O ganho de ruído propaga o offset até a saída; ao referir o resultado de volta à temperatura, o ganho nominal se cancela. Esse cancelamento vale para este modelo linear e para o offset referido à entrada.

Associe cada descrição à expressão que a refere à temperatura. Considere \(S=10\text{ mV/°C}\), ganho nominal \(G_N\), e um modelo linear sem saturação.

A tensão de entrada do ADC não muda quando apenas a referência real muda. O código, porém, varia aproximadamente na razão inversa:

\[
C\propto\frac{V_A}{V_{REF,real}}
\]

Mantendo sensor, ganho e ADC ideais, mas considerando que o firmware usa \(V_{REF,N}\), a conversão fica:

\[
\hat T=\frac{V_{REF,N}}{V_{REF,real}}(T+50)-50
\]

Logo, aumentar \(V_{REF,real}\) reduz o código para a mesma tensão \(V_A\) e faz \(\hat T\) diminuir. O termo \(T+50\) representa a tensão completa do TMP36 em °C equivalentes: os 500 mV presentes a 0 °C correspondem a 50 °C nessa escala. Não aplique simplesmente um percentual sobre \(T\).

Considere \(T=30\) °C, \(V_{REF,N}=5{,}000\) V e \(V_{REF,real}=5{,}025\) V. Sensor e ganho são ideais; somente a referência difere do valor nominal. Use o modelo completo:

\[
\hat T=\frac{V_{REF,N}}{V_{REF,real}}(T+50)-50
\]

Informe a contribuição da referência, \(e_{REF}=\hat T-T\), com sinal e três casas decimais.

Use a mesma convenção do firmware deste tutorial: ADC de 10 bits, 1024 códigos possíveis (0 a 1023) e reconstrução:

\[
V_{A,fw}=C\frac{V_{REF,N}}{1024}
\]

Com \(G_N=4{,}000\), \(V_{REF,N}=5{,}000\) V e sensibilidade do TMP36 de 10 mV/°C, uma variação equivalente de um código desloca a temperatura calculada em:

\[
q_T=\frac{5{,}000}{1024\cdot4{,}000\cdot0{,}010}
=0{,}12207\ \text{°C/LSB}
\]

Esse é o conversor entre um erro definido em LSB, no código do ADC, e °C calculados pelo firmware.

Quantização não recebe automaticamente o limite de meio LSB. Esse valor só é compatível quando a convenção de codificação representa o nível contínuo mais próximo, com erro de arredondamento limitado a \(\pm0{,}5\) LSB. Nessa condição, para este caso:

\[
\Delta T_Q=\pm0{,}5q_T
=\pm0{,}0610\ \text{°C}
\]

Se a transição ou a representação do ADC seguir outra convenção, derive o intervalo a partir dela. Mantenha a mesma escala do firmware: 1024 intervalos e código máximo 1023. O código 1023 reconstrói \(1023\cdot V_{REF,N}/1024\), não exatamente \(V_{REF,N}\).

Um orçamento auditável não é só uma lista de números. Cada linha precisa responder: de onde vem o limite, em que unidade foi informado, sob quais condições vale, qual é a sensibilidade e quantos °C ela pode deslocar o resultado.

Use uma linha para cada mecanismo físico ou especificação escolhida. A coluna de contribuição em °C coloca todas as parcelas na mesma unidade, mas não transforma valores típicos em limites garantidos.

Nesta etapa, organize e elimine sobreposições; o cálculo do limite global ficará para depois.

A referência externa só entra como linha própria se não estiver incluída na especificação escolhida do ADC e se ela fizer parte do modelo da cadeia. Da mesma forma, a resolução de apresentação do firmware só entra se o arredondamento exibido afetar a grandeza que está sendo orçada e ainda não tiver sido incluído na quantização ou em outra linha.

Classifique a evidência: limite garantido, valor típico ou hipótese didática. Apenas a primeira categoria, nas condições declaradas, sustenta por si só um orçamento de pior caso.

Um caso informa: “Erro total do ADC: ±2 LSB, incluindo offset, ganho, INL e quantização”. Em outra tabela aparecem os limites individuais de offset, ganho e INL. A referência externa é especificada separadamente e não é incluída no erro total do ADC.

Qual conjunto deve entrar no orçamento para representar o ADC e a referência, sem dupla contagem?

Uma análise de pior caso não pode escolher cada contribuição como se ela variasse de modo independente. Se uma mesma variável física — por exemplo, a alimentação \(V_{DD}\) ou a temperatura ambiente — afeta mais de um bloco, há dependência entre essas contribuições.

Represente a variável compartilhada uma única vez no modelo. Depois, deixe seus efeitos aparecerem nas expressões de cada bloco. Assim, se a análise escolhe \(V_{DD}=4{,}75\ \text{V}\), todos os parâmetros dependentes dessa condição devem assumir valores compatíveis com 4,75 V. Não é válido combinar um limite que só vale para 4,75 V com outro que só vale para 5,25 V.

Escreva a dependência diretamente no modelo, em vez de criar parcelas independentes para uma mesma causa. Em uma forma geral:

\[
V_S=V_S(T,V_{DD})
\]
\[
V_A=G(V_{DD})\,V_S(T,V_{DD})
\]
\[
x=\frac{V_A}{V_{REF}(V_{DD})}
\]

Aqui, \(x\) é a razão contínua que determina o código antes de considerar a quantização. A variável \(V_{DD}\) aparece uma única vez como condição comum, mas pode afetar sensor, ganho e referência por relações diferentes.

O firmware ainda usa suas constantes nominais para converter o código em \(\hat T\). Ao avaliar \(V_{DD}\) em um extremo, avalie conjuntamente todos os termos que dependem dele.

Se a referência do ADC vier do mesmo trilho do sensor, isso não torna automaticamente o TMP36 ratiométrico com o ADC. Compartilhar a origem de alimentação apenas cria uma variável comum.

Para haver cancelamento, a relação algébrica precisa mostrar que numerador e denominador variam na mesma proporção com \(V_{DD}\). Por exemplo, seria necessário demonstrar que a tensão relevante do sensor e \(V_{REF}\) possuem dependências proporcionais no intervalo e nas condições analisadas.

A saída nominal do TMP36 contém uma parcela de 500 mV e uma inclinação de 10 mV/°C. Portanto, não a trate como fração fixa da alimentação sem uma relação aplicável que prove isso. O cancelamento pode ser total, parcial ou inexistente; o modelo decide.

Compare duas conclusões possíveis:

1. Limite conservador: soma de módulos de limites individuais. Pode ser útil quando as parcelas são limitadas, mas não demonstra que todos os módulos e sinais ocorram simultaneamente.
2. Extremo fisicamente atingível: uma condição do modelo produz simultaneamente aqueles valores. Exige compatibilidade entre condições, sinais e limites declarados.

Não atribua probabilidades a essas combinações neste orçamento. A pergunta aqui é: “o modelo e os limites permitem esta combinação?”. A consolidação numérica do orçamento virá no próximo step.

Depois de eliminar sobreposições, encontre os extremos do modelo completo. Para o caso condicional deste step, use:

\[
E=\hat T-T=(k-1)(T+50)+k\left(e_S+\frac{V_{OS}}{0{,}010}\right)+e_{ADC}
\]

\[
k=\frac{V_{REF,N}}{V_{REF,real}}\frac{G}{G_N}
\]

O termo \(T+50\) representa a tensão completa do TMP36 na escala equivalente de temperatura; por isso, ganho e referência não podem ser aplicados como uma porcentagem apenas de \(T\).

Calcule separadamente \(E_+\), o maior erro positivo, e \(E_-\), o menor erro negativo. O limite simétrico a declarar é:

\[
|E|{pior}=\max\left(|E+|,|E_-|\right)
\]

A soma dos módulos é aceitável como limite conservador apenas para termos efetivamente aditivos e limitados nas mesmas condições. Aqui, \(G\) e \(V_{REF,real}\) pertencem ao fator multiplicativo \(k\): devem permanecer juntos no modelo.

Os extremos resistivos já obtidos para o ganho nominal \(G_N=4{,}000\) são:

\[
G_{min}=1+\frac{29{,}70}{10{,}10}=3{,}9406
\]
\[
G_{max}=1+\frac{30{,}30}{9{,}90}=4{,}0606
\]

Assim, preservando a razão entre referência e ganho:

\[
k_{min}=\frac{5{,}000}{5{,}050}\frac{3{,}9406}{4{,}000}\approx0{,}97539
\]
\[
k_{max}=\frac{5{,}000}{4{,}950}\frac{4{,}0606}{4{,}000}\approx1{,}02541
\]

Para obter erro positivo, escolha ganho alto, referência baixa, sensor acima do nominal e offset positivo. Para o erro negativo, inverta essas escolhas. Isso é válido neste caso porque os limites foram declarados simultaneamente admissíveis.

Como \(k_{max}-1>0\), o erro positivo cresce com \(T\). Como \(k_{min}-1<0\), o erro negativo se torna mais negativo quando \(T\) cresce. Portanto, os dois módulos críticos ocorrem em \(T=50\) °C neste caso — uma conclusão algébrica, não uma escolha automática do extremo superior.

O ADC tem limite agregado de ±2 LSB. Pela escala nominal já adotada:

\[
q_T=0{,}12207\ \text{°C/LSB}
\]
\[
e_{ADC}=\pm2q_T=\pm0{,}24414\ \text{°C}
\]

Como esse limite é agregado, ele substitui linhas individuais de offset, ganho, INL e quantização do ADC.

Antes de aceitar os extremos, verifique a faixa analógica. No maior sinal de entrada do ADC:

\[
V_{A,max}=G_{max}\,[0{,}500+0{,}010(50+1)+0{,}001]
\]
\[
V_{A,max}=4{,}0606\cdot1{,}011\approx4{,}105\ \text{V}
\]

Esse valor permanece abaixo da menor referência admitida, 4,950 V. No extremo inferior, a tensão também permanece acima de 0 V. Portanto, neste caso, a cadeia fica na região linear presumida em toda a faixa. Se algum extremo saturasse sensor, amplificador ou ADC, a expressão linear não poderia ser usada além desse ponto.

Use os limites já calculados: \(E_+=+3{,}913\) °C e \(E_-=-3{,}778\) °C. Informe o pior caso com duas casas decimais, arredondando de modo conservador.

No ponto crítico da faixa, compare as contribuições já convertidas para °C e obtidas sob as mesmas hipóteses do limite de pior caso. A maior contribuição em módulo é a dominante naquele caso.

Não compare diretamente a tolerância percentual de um resistor com milivolts de offset ou LSBs do ADC. Cada origem só é comparável depois de referida à temperatura calculada.

Exemplo: se o orçamento total é 1,80 °C e o sensor contribui com 0,80 °C, melhorar o sensor tende a ter mais impacto que reduzir uma parcela de 0,10 °C — desde que a nova especificação seja realmente válida nas mesmas condições.

Uma meta de projeto distribui o erro admissível entre blocos antes de fechar todas as escolhas. Ela não substitui o orçamento calculado: após selecionar componentes ou alterar o circuito, recalcule o limite global.

Exemplo para requisito de ±2,00 °C: as metas abaixo somam 2,00 °C. A margem de 0,45 °C fica reservada para efeitos ainda sem limite. Essa reserva é uma decisão explícita, não uma prova de que tais efeitos cabem nela.

No orçamento de pior caso de um ponto crítico, as contribuições são: sensor 0,80 °C; ganho resistivo 0,45 °C; referência 0,30 °C; offset 0,15 °C; ADC 0,10 °C. Qual mudança reduz mais o limite, considerando que cada melhoria é viável e não altera as outras parcelas?

Caso integrado: auditoria final

Retome o monitor de temperatura já analisado, sem calibração:

• faixa: 0 a 50 °C; requisito: ±2,00 °C;
• sensor: \(V_S=0{,}500+0{,}010(T+e_S)\), com \(e_S=\pm1{,}0\) °C;
• condicionador não inversor: \(G_N=4{,}000\), \(R_f=30{,}0\) kΩ ±1% e \(R_g=10{,}0\) kΩ ±1%;
• offset de entrada do amplificador: \(V_{OS}=\pm1{,}0\) mV;
• referência real: 4,950 a 5,050 V; referência nominal: 5,000 V;
• ADC de 10 bits: erro total agregado de ±2 LSB, incluindo offset, ganho, INL e quantização.

A análise é válida apenas para aquisição estabilizada, cadeia linear e sem saturação. É uma previsão por cálculo sob os limites declarados; não é uma medição do equipamento.

A conversão nominal adotada desde o início usa 1024 intervalos para os códigos de 0 a 1023. Portanto, o denominador do firmware e a escala usada para converter LSB em °C precisam ser coerentes:

\[
q_T=\frac{5{,}000}{1024\cdot4{,}000\cdot0{,}010}=0{,}12207\ \text{°C/LSB}
\]

Uma versão copiada com denominador 1023, enquanto o orçamento conserva \(q_T\) calculado com 1024, mistura duas convenções. Não ajuste o denominador para fazer o código máximo coincidir com a referência: preserve uma única transferência em todo o modelo.

Os extremos dos resistores já fornecem \(G_{min}=3{,}9406\) e \(G_{max}=4{,}0606\). No extremo de 50 °C, não some isoladamente as contribuições de ganho, referência, sensor e offset: elas interagem pelo fator

\[
k=\frac{V_{REF,N}}{V_{REF,real}}\frac{G}{G_N}
\]

Use diretamente:

\[
E=(k-1)(T+50)+k\left(e_S+\frac{V_{OS}}{0{,}010}\right)+e_{ADC}
\]

O termo \(e_{ADC}\) entra ao final porque, neste caso, seu limite total é definido como deslocamento agregado equivalente de código. Não acrescente linhas separadas de offset, ganho, INL ou quantização do ADC.