Dimensionamento de filtros ativos de primeira ordem

Um filtro escolhe quais variações do sinal devem chegar à saída com pouca alteração e quais devem ser reduzidas. A escolha começa pelo requisito:

• Passa-baixas: preserve frequências abaixo da região de corte e atenue frequências mais altas.
• Passa-altas: preserve frequências acima da região de corte e atenue frequências mais baixas.

Exemplo: para suavizar variações rápidas indesejadas em um sinal lento, use passa-baixas. Para remover uma componente contínua ou uma variação muito lenta antes de analisar mudanças rápidas, use passa-altas.

Nos dois casos, a estrutura tem dois blocos:

1. Rede RC seletiva: é onde R e C fazem a resposta depender da frequência.
2. Estágio ativo: um buffer ou amplificador não inversor recebe o nó da rede RC.

O estágio ativo reduz o carregamento sobre a rede seletiva e pode definir o ganho na faixa de passagem. Ele não transforma a resposta em uma chave: a redução fora da faixa útil continua sendo gradual.

Requisito: manter as variações de até algumas dezenas de hertz e reduzir interferências em frequência bem maior.

Qual topologia você escolheria? Justifique em uma frase.

Descrição A: resistor no caminho do sinal e capacitor do nó para a referência.

Descrição B: capacitor no caminho do sinal e resistor do nó para a referência.

Escreva qual é passa-baixas e qual é passa-altas.

No passa-baixas ativo, a rede RC entrega ao estágio ativo uma variação de tensão que depende da frequência. O estágio, com ganho de passagem K, amplifica essa variação sem alterar a forma básica da seleção feita por R e C.

Definimos a transferência como:

H(f) = Ṽ_saida / Ṽ_entrada

Os símbolos com til representam fasores das variações do sinal em torno das polarizações. Portanto, H(f) não compara os níveis contínuos totais de entrada e saída. Se ambos os sinais estiverem centrados em uma referência contínua, essa referência não entra no cálculo de H(f).

Com a entrada do amplificador suficientemente alta em impedância, ela praticamente não carrega a rede RC. Pela divisão de impedâncias, a tensão no capacitor é:

Ṽ_RC / Ṽ_entrada = 1 / (1 + j f/f_c)

Multiplicando pelo ganho do estágio ativo, resulta:

H(f) = K / (1 + j f/f_c)

A frequência de corte ideal da rede é:

f_c = 1/(2πRC)

Essa expressão vale sob as hipóteses já adotadas: fonte e referência de baixa impedância e entrada do amplificador de alta impedância na faixa analisada.

O módulo, isto é, o ganho de amplitude na frequência f, é:

|H(f)| = K / √[1 + (f/f_c)²]

Use |H(f)| para calcular amplitudes: se a entrada tem amplitude Vₚ, a saída tem amplitude |H(f)| × Vₚ, usando a mesma convenção de amplitude nos dois sinais.

Em frequências muito menores que f_c, |H| se aproxima de K. Em frequências muito maiores, |H| diminui à medida que f aumenta. A componente contínua da fonte é transmitida pela rede RC passa-baixas; H(f), porém, descreve as variações de sinal.

Para um passa-baixas com K = 4, f_c = 2 kHz e frequência avaliada f = 6 kHz, complete o valor aproximado de |H(f)|.

No passa-altas, o capacitor fica em série com o sinal. O nó depois dele alimenta a entrada não inversora do estágio ativo e se liga à referência por R. A saída da rede RC é, portanto, a tensão sobre R.

Para pequenas variações em torno da polarização, a divisão de impedâncias fornece:

H(f) = K × (j f/f_c)/(1 + j f/f_c)

com f_c = 1/(2πRC), sob as hipóteses de fonte com impedância baixa, referência firme e entrada do amplificador com impedância alta.

O fator K é o ganho de passagem do buffer ou amplificador não inversor que vem depois da rede RC.

O capacitor em série bloqueia a componente contínua que vem da fonte. Isso não significa que a entrada do amplificador — nem a saída — fique sem polarização.

O resistor R ligado à referência cria o caminho contínuo necessário para as correntes de polarização da entrada e define a tensão de repouso desse nó. Assim, a saída pode permanecer polarizada em torno da referência, enquanto recebe somente a parcela variável do sinal.

Sem esse resistor, o nó após o capacitor pode ficar flutuante. Na prática, pequenas correntes e fugas deslocariam sua tensão até um limite, comprometendo a operação linear.

Qual conexão fornece o caminho contínuo de polarização para a entrada do amplificador em um passa-altas?

Para as duas topologias estudadas, comece definindo a frequência de corte desejada, f_c, e o ganho de passagem, K. Em seguida, escolha um capacitor C disponível e calcule o resistor da rede seletiva:

R = 1/(2π f_c C)

O par R–C define o corte; o estágio não inversor define K. Essa separação permite ajustar cada objetivo sem misturar os resistores da rede RC com os resistores de realimentação.

Três formas de descrever a mesma resposta

Em uma frequência escolhida, calcule primeiro o módulo |H(f)|. Ele é o ganho de tensão absoluto: inclui o ganho de passagem K e o efeito de filtragem.

Se a entrada tem amplitude \(V_{in}\), a saída prevista é:

\[
V_{out}=|H(f)|\,V_{in}
\]

Use a mesma convenção nos dois valores: pico com pico, RMS com RMS ou pico a pico com pico a pico.

Em decibéis, há duas leituras diferentes:

• Ganho absoluto: \(G_{dB}=20\log_{10}|H(f)|\). Compara saída e entrada.
• Resposta relativa à passagem: \(G_{rel}=20\log_{10}(|H(f)|/K)\). Mostra somente a perda causada pelo filtro em relação ao patamar de passagem.
• Atenuação relativa: \(A_{rel}=20\log_{10}(K/|H(f)|)\). É a mesma perda, escrita como número positivo.

Portanto, \(A_{rel}=-G_{rel}\).

Para um filtro com ganho de passagem \(K=5\), calcule o módulo exatamente na frequência de corte. Informe o resultado com duas casas decimais.

\[
|H(f_c)|=\frac{K}{\sqrt2}
\]

Longe do corte, as retas assintóticas ajudam a estimar a resposta:

• No passa-baixas, acima de \(f_c\), ao aumentar a frequência por um fator de 10, a resposta relativa diminui cerca de 20 dB.
• No passa-altas, abaixo de \(f_c\), ao aumentar a frequência por um fator de 10, a resposta relativa aumenta cerca de 20 dB.

Essas são aproximações úteis nas regiões afastadas do corte. Perto de \(f_c\), use as expressões exatas de módulo.

A fase é o argumento de H(f): para uma razão de termos complexos, ela é o argumento do numerador menos o do denominador. Como o ganho de passagem K é real e positivo, ele não acrescenta fase.

• Passa-baixas: H(f) = K/(1 + j f/f_c) → φ(f) = −arctan(f/f_c)
• Passa-altas: H(f) = K·(j f/f_c)/(1 + j f/f_c) → φ(f) = 90° − arctan(f/f_c), para f > 0

No passa-baixas, o sinal de saída atrasa em relação à entrada. No passa-altas, a saída avança. Essas relações descrevem senoides em regime permanente.

Use a calculadora em graus e calcule primeiro a razão x = f/f_c. Depois aplique arctan(x).

Nos extremos do modelo:

• Passa-baixas: quando f é muito menor que f_c, φ se aproxima de 0°; quando f é muito maior, aproxima-se de −90°.
• Passa-altas: para f positivo muito menor que f_c, φ se aproxima de +90°; muito acima do corte, aproxima-se de 0°.

“Próximo de +90°” no passa-altas não significa fase definida em 0 Hz: nessa frequência, a componente contínua é bloqueada.

Associe cada condição à fase e à relação temporal correta entre saída e entrada.

Uma fonte real pode ser representada por sua tensão em circuito aberto, V_s, em série com a resistência de Thévenin R_s. Nesta análise, V_s é a entrada usada para definir o ganho do filtro.

Se a referência for ideal e a entrada do amplificador tiver impedância muito alta, R_s soma-se ao resistor seletivo R. Nas duas topologias:

f_c' = 1 / [2π(R + R_s)C]

Assim, o corte efetivo fica menor que o calculado somente com R. A aproximação R_s ≪ R só é aceitável quando o desvio resultante atende ao requisito do projeto.

Tolerâncias deslocam o corte mesmo quando a fonte e o amplificador atendem às aproximações. Para uma estimativa de pior caso:

f_c,min = 1/(2πR_maxC_max)

f_c,max = 1/(2πR_minC_min)

O menor corte ocorre com R e C máximos; o maior, com R e C mínimos. Esses limites valem quando as demais aproximações do modelo continuam adequadas.

Para o não inversor, K = 1 + R_f/R_g. As tolerâncias de R_f e R_g também criam um intervalo possível de ganho.

Para estimar extremos independentes, use o menor R_f com o maior R_g para K mínimo; use o maior R_f com o menor R_g para K máximo. Isso é uma estimativa de pior caso, não uma análise estatística.

A rede RC define a resposta pretendida apenas enquanto o estágio ativo puder ser aproximado como um ganho constante K. Para um buffer ou amplificador não inversor, faça uma primeira estimativa da banda fechada:

f_BW ≈ GBW / K

Compare essa estimativa com a maior frequência que será analisada ou que precisa ser preservada, e não somente com a frequência de corte f_c. Um passa-altas, por exemplo, aproxima-se de K acima de f_c, mas o amplificador real volta a perder ganho e acrescentar fase em frequências suficientemente altas.

A margem necessária não tem uma razão universal, como “dez vezes maior”. Ela depende do erro de módulo e de fase que o projeto tolera. Use curvas, limites e condições da folha de dados para verificar a resposta na faixa de interesse.

Também calcule o slew rate em cada frequência relevante com a maior amplitude de saída prevista:

SR necessário ≈ 2πfV_pico

Banda insuficiente afeta pequenos sinais; slew rate insuficiente distorce uma senoide mesmo que a banda estimada pareça adequada.

Ao validar um filtro ativo, registre a maior frequência e a maior amplitude de saída consideradas, a estimativa de banda, o SR necessário e as verificações da folha de dados. Assim, a resposta calculada para a rede RC só é usada dentro de uma faixa em que o amplificador não a domina.

Caso de projeto

Uma fonte fornece uma senoide útil de 1 kHz, com 0,5 V de pico em torno de Vref = 2,5 V, e há uma interferência de 50 Hz. A resistência série da fonte é Rs = 100 Ω. Considere Vref ideal para pequenos sinais.

O objetivo é preservar 1 kHz e reduzir 50 Hz. Portanto, use uma rede passa-altas: capacitor em série, resistor R para Vref e estágio não inversor. O resistor R também fornece o caminho contínuo de polarização à entrada não inversora.

A entrada é definida na fonte, antes de Rs. Avalie o projeto nominal e os extremos de tolerância; uma aprovação só é válida se os requisitos forem atendidos nas condições especificadas.

Roteiro para um registro verificável

1. Escolha R e C e calcule o corte da rede isolada: fc = 1/(2πRC).
2. Inclua a fonte: fc' = 1/[2π(R + Rs)C].
3. Com Rf = Rg = 10 kΩ, calcule o ganho do estágio: K = 1 + Rf/Rg. No passa-altas, o ganho de passagem real é Kpass = K·R/(R + Rs).
4. Em cada frequência, use |H| = Kpass·x/√(1+x²), com x = f/fc', e φ = 90° − arctan(x).
5. Para a atenuação relativa à passagem real, use Apass = 20 log10(Kpass/|H|). Nessa razão, Kpass se cancela: ela depende da posição da frequência em relação ao corte, não do ganho não inversor.
6. Propague tolerâncias. O pior caso de atenuação em 50 Hz ocorre com fc' mínimo; o pior caso de |H| em 1 kHz combina Kpass mínimo com fc' máximo.

A combinação escolhida é coerente com o corte desejado, mas a decisão não pode se basear apenas no valor nominal.

Com R = 8,2 kΩ e C = 100 nF, o corte efetivo nominal é 191,8 Hz. Em 50 Hz, a atenuação relativa à passagem real é aproximadamente 11,96 dB: já fica ligeiramente abaixo dos 12 dB exigidos. No extremo de R e C que produz o menor corte, a situação piora.

A tolerância dos resistores de ganho afeta |H| absoluto, mas não a atenuação relativa à passagem real, pois tanto |H| quanto Kpass variam pelo mesmo fator Kpass.