Modelos de distribuição e incerteza padrão

Quatro ideias que não são sinônimas

Ao medir uma temperatura, compare a indicação com uma referência caracterizada, mas não a trate como verdade perfeita.

• Erro: diferença com sinal entre a indicação e a referência adotada.
• Correção: valor que se soma ao resultado para compensar um efeito estimado; tem sinal oposto ao erro estimado.
• Dispersão: quanto as leituras repetidas se espalham.
• Incerteza residual: o que ainda pode variar ou ser desconhecido após aplicar as correções cabíveis.

A dispersão já observada descreve a série; ela não resume, sozinha, tudo o que permanece incerto.

Considere uma referência que indica 25,00 °C, com incerteza própria documentada. Um instrumento, nas mesmas condições, indica 25,30 °C.

Adotando a referência para esta comparação:

erro = indicação − referência = 25,30 − 25,00 = +0,30 °C

O sinal positivo diz que a indicação está acima da referência. Não significa que a referência seja exatamente 25,00 °C; ela também tem limitação conhecida.

Em cinco leituras de uma fonte estável, um instrumento forneceu valores próximos de 25,30 °C. Após aplicar −0,30 °C a cada leitura, os valores ficam próximos de 25,00 °C.

O que mudou — e o que não mudou? Faça as associações.

Relacione a informação à interpretação mais adequada.

A correção trata um efeito estimado; ela não torna uma medição automaticamente exata.

Em uma análise bem registrada, anote separadamente:

1. a referência usada e suas limitações;
2. o erro observado, com sinal;
3. a correção aplicada e sua justificativa;
4. a dispersão das repetições;
5. o que ainda permanece incerto.

Nos próximos passos, você vai usar modelos de distribuição para expressar algumas dessas incertezas de modo quantitativo.

Probabilidade é uma medida de 0 a 1: por exemplo, 0,25 equivale a 25%. Uma distribuição é um modelo que reparte essa probabilidade entre faixas possíveis de uma grandeza.

Ao olhar uma curva de distribuição, a probabilidade de uma faixa é representada pela área sob a curva naquela faixa. A altura da curva em um único valor não é, sozinha, uma probabilidade: um ponto isolado não tem largura de faixa.

O modelo descreve o que se considera plausível sob certas hipóteses; ele não cria uma garantia física sobre a próxima leitura.

As leituras que você já organizou são uma amostra finita. Sua média e seu desvio-padrão amostral resumem os dados observados. Já uma distribuição descreve um modelo probabilístico com parâmetros próprios.

Não conclua que uma frequência observada é uma promessa para o futuro. Por exemplo, observar 8 resultados em certa faixa entre 10 leituras não garante que as próximas leituras ficarão nessa faixa, nem transforma os extremos observados em limites garantidos.

A incerteza padrão, indicada por u, expressa uma incerteza na forma de um desvio-padrão. Ela mantém a unidade da grandeza: se o resultado está em °C, u também está em °C; se está em V, u está em V.

Ela não é:

• um erro máximo garantido;
• uma correção a somar ou subtrair do resultado;
• necessariamente igual ao desvio-padrão s de uma série de leituras.

A origem da informação e o modelo adotado determinam como obter u. Nos próximos steps, você verá modelos específicos e conversões justificadas.

Um modelo de possibilidades igualmente plausíveis

Use o modelo retangular quando houver justificativa para tratar todos os valores de um intervalo como igualmente plausíveis.

Se o centro é m e a distância do centro a cada limite é a, o intervalo vai de m − a até m + a:

• limite inferior: m − a
• centro: m
• limite superior: m + a
• largura total: 2a

A grandeza a é a semilargura: ela mede apenas do centro até um limite. Não confunda com a largura total do intervalo.

Em um modelo retangular, faixas internas de mesma largura têm a mesma probabilidade, mesmo que estejam em posições diferentes.

Para uma faixa totalmente contida no intervalo, calcule:

probabilidade da faixa = largura da faixa ÷ largura total

Como a largura total é 2a:

P = largura da faixa ÷ 2a

A altura do retângulo não é a probabilidade de um ponto. A probabilidade é representada pela área; neste modelo de altura constante, isso equivale à proporção das larguras.

Ao documentar uma análise, diferencie estas duas frases:

• “Adotado modelo retangular entre os limites informados.” → declara uma hipótese probabilística.
• “O valor nunca estará fora desses limites.” → afirma uma garantia experimental, que o cálculo não criou.

A escolha do modelo deve acompanhar a informação disponível e o objetivo da análise.

Qual diagrama representa duas faixas com a mesma probabilidade em um modelo retangular?

No modelo retangular, a contribuição pode assumir valores igualmente plausíveis entre m − a e m + a. A semilargura a é a distância do centro a um limite.

A incerteza padrão desse modelo é:

u = a / √3

Essa relação transforma a semilargura em uma medida de dispersão equivalente ao desvio-padrão do modelo. Ela não altera a unidade: se a está em °C, u também estará em °C.

A informação disponível pode vir em formatos diferentes. Primeiro, encontre a; só então aplique u = a/√3.

O modelo normal é uma distribuição simétrica em forma de sino, centrada na média μ. O parâmetro σ determina sua dispersão: um σ maior produz uma curva mais espalhada; um σ menor, uma curva mais concentrada.

Como nos demais modelos, probabilidades pertencem a faixas de valores: são representadas pela área sob a curva, e não pela altura da curva em um ponto.

Considere duas faixas com a mesma largura, posicionadas em lugares diferentes de uma curva normal. A faixa próxima de μ tem maior área sob a curva e, portanto, maior probabilidade do que a faixa afastada.

No modelo retangular, faixas internas de mesma largura têm a mesma probabilidade. Essa diferença vem da concentração de probabilidade: uniforme no retangular e maior no centro do normal.

Use a comparação abaixo para manter os dois modelos separados.

Julgue a afirmação:

“Em um modelo normal, uma faixa de mesma largura localizada perto de μ tem a mesma probabilidade que outra faixa, de mesma largura, muito afastada de μ.”

Julgue a afirmação:

“Se uma amostra tem média e desvio-padrão calculados, então a faixa média ± desvio-padrão contém aproximadamente 68% de probabilidade.”

Estabilidade: a série representa o mesmo estado?

Antes de usar várias leituras como repetições comparáveis, verifique se as condições relevantes permaneceram suficientemente constantes durante a série: grandeza medida, ambiente, alimentação, instrumento e procedimento.

Uma deriva — tendência de subida ou descida ao longo do tempo — é um alerta. Nesse caso, as leituras podem estar registrando uma mudança real do sistema ou do processo de medição, e não apenas variações em torno de um estado estável.

Independência não é apenas “parecer aleatório”

Leituras são tratadas como independentes quando saber o desvio de uma leitura em relação ao valor central não traz informação adicional sobre o desvio da próxima, nas mesmas condições.

A aparência irregular da série ajuda na investigação, mas não prova independência. Examine também como os dados foram adquiridos. Leituras muito próximas no tempo podem compartilhar efeitos lentos; e valores calculados por filtro ou média móvel podem reutilizar dados anteriores.

Uma série de 30 leituras de tensão não mostra tendência visual clara. Ela foi obtida publicando, a cada 100 ms, uma média móvel das últimas 20 conversões do ADC. Qual conclusão é mais adequada?

Você já calculou s, o desvio-padrão amostral das leituras individuais. Ao informar a média de uma série, a contribuição de repetibilidade associada a ela é menor: sua estimativa é

u_média = s / √n

em que n é o número de leituras.

Use essa relação somente quando as leituras representarem condições suficientemente estáveis e repetições independentes — hipóteses que devem ser justificadas pelo procedimento de aquisição.

Se n passar de 16 para 64, √n passa de 4 para 8. Mantendo s igual, u_média cai de 0,10 °C para 0,05 °C: quadruplicar n reduz essa contribuição pela metade.

Isso não faz as leituras individuais ficarem menos dispersas: s continua descrevendo a série de leituras. Tampouco reduz automaticamente contribuições comuns a todas elas, como uma referência compartilhada.

Média reduz o que varia de leitura para leitura

A média de muitas leituras pode reduzir a contribuição de repetibilidade quando as leituras são independentes e o processo está estável. Isso funciona porque parte do desvio muda de uma leitura para outra.

Mas nem toda contribuição é sorteada novamente. Um efeito que acompanha todas as leituras como um bloco continua presente na média.

O que acompanha toda a série

Considere um monitor de temperatura que aplica uma correção à indicação. A correção foi estimada, mas ainda há incerteza sobre seu valor. Essa incerteza residual afeta cada leitura corrigida da mesma série.

O mesmo pode ocorrer com a referência do ADC ou com um offset estável do condicionamento: se o efeito não muda a cada aquisição, as leituras não trazem novas realizações independentes dele.

Assim, uma média pode ser muito repetível e ainda permanecer limitada por uma contribuição comum.

Associe cada situação ao efeito mais adequado de aumentar o número de leituras independentes. Observe se o efeito é sorteado novamente a cada aquisição ou compartilhado pela série inteira.

Caso didático — monitor de temperatura

O firmware aplica uma correção de +0,12 °C ao valor indicado, para compensar um efeito estimado previamente. Essa correção ajusta o resultado, mas não elimina a incerteza sobre o efeito nem outras contribuições.

Para esta análise, mantenha cada contribuição separada. Não calcule uma incerteza total neste step.

Para o residual da correção, os limites são simétricos e a hipótese de valores igualmente plausíveis foi fornecida. Portanto, a semilargura é a = 0,30 °C e o modelo retangular permite usar:

u = a/√3

A correção de +0,12 °C não entra nessa divisão: ela é uma compensação aplicada ao resultado.

As 16 leituras foram declaradas estáveis e independentes, e seu desvio-padrão amostral é s = 0,20 °C. Para a contribuição de repetibilidade da média:

u_média = s/√n = 0,20/√16

Isso reduz a incerteza associada à média, não a dispersão s das leituras individuais.

A caracterização separada informa explicitamente um modelo normal com μ = 0 °C e σ = 0,10 °C. Nesse modelo, a faixa de μ − σ a μ + σ, isto é, de −0,10 °C a +0,10 °C, contém aproximadamente 68% da probabilidade.

Essa interpretação depende do modelo normal e dos parâmetros fornecidos. Ela não decorre apenas de ter calculado uma média e um desvio-padrão de leituras.