Componentes e ângulos com trigonometria

Use um plano com dois eixos perpendiculares que se cruzam na origem: o eixo x é horizontal e o eixo y é vertical.

Um ponto é escrito como (x, y). Pense também nele como a ponta de uma seta que sai da origem: x indica o deslocamento horizontal; y, o deslocamento vertical.

Exemplo: (3, 2) fica 3 unidades à direita e 2 unidades acima da origem. Já (−3, 2) fica 3 unidades à esquerda e 2 acima.

Os sinais de x e y localizam a ponta da seta em um dos quatro quadrantes:

• x positivo: direita; x negativo: esquerda.
• y positivo: acima; y negativo: abaixo.

Os quadrantes são numerados no sentido anti-horário, começando pelo setor superior direito. Um ponto exatamente sobre um eixo tem uma componente igual a zero e não pertence a nenhum quadrante.

A direção θ é medida a partir do semieixo horizontal positivo, isto é, a direção de x positivo. O sentido anti-horário é positivo.

Neste tutorial, represente direções no intervalo 0° ≤ θ < 360°. Assim, 0° aponta para a direita, 90° para cima, 180° para a esquerda e 270° para baixo.

Uma volta completa volta a 0°, por isso 360° não entra no intervalo adotado.

Uma seta da origem até o ponto (x, y), junto com suas projeções nos eixos, forma um triângulo retângulo. A própria seta é a hipotenusa; seu comprimento é o módulo, indicado por r.

As coordenadas podem ter sinal, pois indicam direção nos eixos. Já os catetos são comprimentos geométricos: usamos |x| e |y|, sempre não negativos.

Pelo teorema de Pitágoras, o módulo é:

r = √(x² + y²)

Ele é sempre maior ou igual a zero. Ao elevar uma componente ao quadrado, seu sinal deixa de afetar o cálculo do comprimento.

Antes de calcular, expresse x e y na mesma unidade. O resultado r conserva essa unidade.

Em um triângulo retângulo, a hipotenusa é sempre o lado oposto ao ângulo de 90°: ela não muda de nome.

Os outros dois lados são catetos, mas seus nomes dependem do ângulo agudo de referência θ:

• cateto oposto: fica em frente a θ;
• cateto adjacente: toca θ e não é a hipotenusa.

Antes de escolher uma razão trigonométrica, marque θ e identifique esses três lados. Se você trocar o ângulo de referência, oposto e adjacente trocam de papel.

As três razões ligam os lados do triângulo em relação a θ:

• sen(θ) = oposto / hipotenusa
• cos(θ) = adjacente / hipotenusa
• tan(θ) = oposto / adjacente

Uma forma de lembrar é: seno olha para o lado oposto; cosseno, para o adjacente; a tangente compara os dois catetos.

As razões não têm unidade. Por exemplo, V/V, cm/cm ou m/m se cancelam. Elas descrevem a inclinação associada ao ângulo, não um comprimento.

Um triângulo de lados proporcionais mantém os mesmos ângulos, mesmo quando é ampliado ou reduzido.

Se o triângulo 3–4–5 for duplicado, seus lados passam a 6–8–10. Para o mesmo θ:

sen(θ) = 3/5 = 6/10 = 0,6

Os comprimentos mudam, mas a razão entre os lados correspondentes não. É por isso que seno, cosseno e tangente dependem do ângulo, e não do tamanho do desenho.

O triângulo retângulo explica seno e cosseno para ângulos agudos. Para incluir qualquer direção, usamos o círculo unitário: um círculo de raio 1, centrado na origem.

Partindo da origem, trace um raio até o ponto do círculo associado ao ângulo θ. As coordenadas desse ponto são:

(cos(θ), sen(θ))

Assim, a coordenada horizontal é o cosseno e a vertical é o seno. Como o raio mede 1, ambas as coordenadas ficam sempre entre −1 e 1.

Os sinais de seno e cosseno acompanham os sinais das coordenadas do ponto no círculo:

• cos(θ) é a coordenada horizontal: positivo à direita e negativo à esquerda.
• sen(θ) é a coordenada vertical: positivo acima e negativo abaixo.

Portanto, antes de calcular, localize o quadrante. Isso já permite prever o sinal de cada valor.

Os ângulos em outros quadrantes podem ser comparados a um ângulo agudo de referência pela simetria do círculo.

Por exemplo, 30°, 150°, 210° e 330° têm a mesma distância angular até o eixo horizontal mais próximo. Por isso, seno e cosseno têm os mesmos módulos nesses casos; o que muda são os sinais determinados pelo quadrante.

Exemplo: como cos(30°) é positivo, cos(150°) tem o mesmo módulo, mas é negativo. Já sen(150°) continua positivo porque o ponto está acima do eixo horizontal.

Nos encontros com os eixos, uma das coordenadas é zero. Assim:

• 0°: (1, 0) → cos = 1, sen = 0
• 90°: (0, 1) → cos = 0, sen = 1
• 180°: (−1, 0) → cos = −1, sen = 0
• 270°: (0, −1) → cos = 0, sen = −1

Esses quatro pontos confirmam também o limite: −1 ≤ cos(θ) ≤ 1 e −1 ≤ sen(θ) ≤ 1.

Uma volta completa pode ser medida de duas formas equivalentes:

• 360° (graus)
• 2π rad (radianos)

Como π ≈ 3,1416, meia volta é 180° = π rad e um quarto de volta é 90° = π/2 rad.

Os dois sistemas indicam a mesma posição no círculo; apenas usam unidades diferentes. Mantenha a unidade explícita ao escrever um ângulo.

Use a equivalência 180° = π rad como fator de conversão:

• Graus → radianos: multiplique por π/180.

Exemplo: 120° × π/180 = 2π/3 rad.

• Radianos → graus: multiplique por 180/π.

Exemplo: (3π/4) × 180/π = 135°.

Quando o ângulo estiver escrito como múltiplo de π, simplifique a fração e deixe o resultado exato. Evite arredondar π durante a conta: use a tecla π da calculadora quando precisar de um valor decimal.

A calculadora interpreta argumentos trigonométricos conforme o modo angular:

• Em DEG, use ângulos em graus: sen(30) resulta em 0,5.
• Em RAD, use ângulos em radianos: sen(π/6) resulta em 0,5.

Se você digitar sen(30) no modo RAD, a calculadora entenderá 30 rad, e não 30°. O valor será diferente de 0,5, embora a calculadora esteja funcionando corretamente.

Uma seta de módulo r e direção θ pode ser vista como uma ampliação do raio do círculo unitário. No círculo unitário, as coordenadas são cos(θ) e sen(θ). Ao ampliar o raio para r, as projeções também são multiplicadas por r:

x = r × cos(θ)

y = r × sen(θ)

Use o mesmo modo angular da unidade fornecida: DEG para graus e RAD para radianos.

Antes de calcular, preveja os sinais pelo quadrante. Isso é uma conferência rápida contra erros de tecla ou de modo angular.

• Quadrante I: x positivo, y positivo
• Quadrante II: x negativo, y positivo
• Quadrante III: x negativo, y negativo
• Quadrante IV: x positivo, y negativo

A unidade de x e y é a mesma unidade de r. Se r está em volts, as componentes estão em volts; se está em amperes, ficam em amperes.

Uma seta tem módulo 8 A e direção 5π/6 rad. Complete a componente horizontal. Use a calculadora em RAD.

x = 8 × cos(5π/6) = {{blank}} A

Além dos sinais, confira o tamanho das componentes:

• |x| ≤ r e |y| ≤ r: cada projeção não pode ser maior que a própria seta.
• x² + y² ≈ r²: pequenas diferenças podem surgir se x e y foram arredondados.

No exemplo de 10 V e 120°: (−5)² + (8,66)² ≈ 25 + 75 = 100, próximo de 10². Se você arredondar cedo demais, essa igualdade pode ficar menos precisa.

Para componentes x e y não nulas, a razão

tan(θ) = y/x

informa a inclinação da seta. Para recuperar um ângulo, use a operação inversa:

α = arctan(y/x)

Na calculadora, ela pode aparecer como tan⁻¹, arctan ou atan. O sobrescrito −1 indica função inversa; não significa calcular 1/tan.

O resultado principal α fica entre −90° e 90° (ou entre −π/2 e π/2). Por isso, ele não identifica sozinho o quadrante. Os pontos (3, 3) e (−3, −3), por exemplo, têm a mesma razão y/x = 1, mas apontam para direções diferentes: seus sinais não são iguais.

Estas regras valem quando x e y são diferentes de zero. Se quiser a resposta em graus, deixe a calculadora em DEG, calcule α = arctan(y/x) e use os sinais para ajustar o resultado ao intervalo de 0° até menos de 360°.

Em RAD, o raciocínio pelos sinais é idêntico. Apenas use os valores em radianos:

• Quadrante I: θ = α.
• Se x < 0: θ = α + π.
• Se x > 0 e y < 0: θ = α + 2π.

Por exemplo, para (−3, −3), y/x = 1 e α = arctan(1) = π/4. Como x é negativo, θ = π/4 + π = 5π/4 rad. Mantenha o modo RAD se desejar que a arco-tangente seja dada em radianos.

Nos exercícios seguintes, todas as componentes são não nulas e as direções devem ser dadas em graus, no intervalo de 0° até menos de 360°. Em cada caso: calcule y/x, obtenha o valor principal α em DEG e confira os sinais antes de decidir a direção final.

Quando uma componente é zero, a seta está exatamente sobre um eixo. Não é preciso usar arco-tangente: a direção é determinada diretamente pelo semieixo em que o ponto está.

Adotamos o intervalo de 0° até menos de 360°; em radianos, de 0 até menos de 2π.

A razão y/x só pode ser calculada se x for diferente de zero. Portanto, para pontos do eixo vertical, não tente calcular arctan(y/x): use 90° se y for positivo ou 270° se y for negativo.

Para pontos do eixo horizontal, a razão vale zero quando x não é zero, mas identificar o semieixo continua sendo a forma mais direta e evita ambiguidades.

Na origem, as duas componentes são nulas: (0, 0). Pelo cálculo do módulo, r = √(0² + 0²) = 0.

Não há seta com comprimento e orientação nesse caso. Assim, a origem não tem direção definida. Se uma função da calculadora retornar 0 para esse caso, trate-o apenas como uma convenção do programa, e não como uma direção geométrica.

Associe cada ponto à direção correspondente ou à classificação correta.

Você vai conferir duas descrições da mesma seta: por componentes, (x, y), e por módulo com direção, (r, θ).

Use um caso novo: r = 12 mA e θ = 5π/6 rad. Essa direção está no quadrante II. Portanto, antes de usar a calculadora, preveja: x negativo e y positivo.

Como o ângulo inicial está em radianos, a ida deve ser feita no modo RAD. Ao final, você também expressará a direção recuperada em graus.

Faça a conversão de ida mantendo a calculadora em RAD:

x = 12 × cos(5π/6)

y = 12 × sen(5π/6)

Depois, volte a partir das componentes:

r = √(x² + y²)

Para recuperar a direção em graus, mude a calculadora para DEG antes de usar α = arctan(y/x). A razão y/x não tem unidade. Como x será negativo e y positivo, a direção final precisa ficar no quadrante II: some 180° ao resultado principal de α.

Por fim, compare a direção em graus com a direção inicial em radianos usando rad × 180/π.

Agora execute a conversão completa para r = 12 mA e θ = 5π/6 rad. Deixe a calculadora em RAD para calcular as componentes. O seno desse ângulo fornece a componente vertical.