Caracterização da resposta ao degrau

Um ensaio de resposta ao degrau observa como uma saída evolui depois de uma mudança conhecida no comando. Aqui, o comando será o ciclo de trabalho do PWM e a saída será a tensão no capacitor, lida em A0.

O ensaio é em malha aberta: aplique a mudança programada, registre a tensão ao longo do tempo e não tente corrigir a saída durante a observação. A realimentação e o controle serão estudados mais adiante.

Monte com a alimentação do Arduino desconectada. Use somente a montagem de baixa energia abaixo; não conecte motor, carga de potência ou fonte externa ao nó de A0.

Com alimentação de 5 V, esta referência tem valores nominais modestos:

• Constante de tempo: τ = RC ≈ 4,7 kΩ × 100 µF = 0,47 s.
• Corrente máxima inicial: aproximadamente 5/4.700 = 1,1 mA.
• Energia máxima no capacitor: ½ × 100 µF × 5² = 1,25 mJ.

Esses números situam os limites elétricos da prática. As estimativas experimentais da curva serão feitas nos próximos passos.

Use o PWM padrão do pino 3, sem reconfigurar temporizadores. No Uno, a portadora é próxima de 490 Hz, com período de cerca de 2 ms. Como τ nominal é cerca de 0,47 s — muito maior que 2 ms — o capacitor não acompanha cada comutação individual: ele revela a evolução média.

O degrau do ensaio será uma mudança do valor PWM de 64 para 192. Em escala de ciclo de trabalho, isso equivale aproximadamente a 25% para 75%. São valores intermediários, adequados para observar uma subida sem aplicar fonte externa ao nó de medição.

O ensaio registra a tensão no RC enquanto o comando PWM muda de 64 para 192. O programa mantém 64 por cerca de 3 s, aplica o degrau, observa por mais 4 s e então escreve zero para descarregar o capacitor pelo resistor.

Cada linha de dados informa: tempo de aquisição desde o início, comando PWM, leitura bruta do ADC, intervalo desde a aquisição anterior, atraso em relação ao prazo e prazos perdidos. O marcador # STEP_AT_US registra separadamente o instante real do degrau.

Nos próximos passos, calcule o tempo relativo da resposta como t_aquisição − STEP_AT_US. Não use o instante em que a linha apareceu no Monitor Serial: a transmissão ocorre depois da aquisição.

Copie o sketch inteiro para um arquivo novo na Arduino IDE. Ele não usa bibliotecas adicionais nem armazena o ensaio na RAM. A referência declarada é 5,00 V; se você usar outra referência conhecida no ADC, altere VREF e preserve essa informação junto aos dados.

A condição de encerramento está em else if: no mesmo ciclo em que o degrau é aplicado, ela não é avaliada. Assim, o ensaio mantém PWM 192 durante a janela de observação.

Conecte o Uno com a montagem conferida no passo anterior. Na Arduino IDE, selecione a placa e a porta corretas, envie o sketch e abra o Monitor Serial em 115200 baud. Reinicie a placa para capturar também os cabeçalhos.

Espere os marcadores # END_COMMAND,0 e # MISSED_SLOTS. Copie todo o conteúdo do Monitor Serial para um arquivo local de texto. Preserve as linhas iniciadas por #: elas documentam a referência, as colunas, o instante do degrau, o encerramento e as perdas de prazo. As demais linhas são os registros brutos; não aplique filtro nem substitua valores nesta etapa.

Confira dt_us: ele deve ficar próximo de 20000 µs. Se missed ou MISSED_SLOTS for diferente de zero, ou se houver intervalos muito maiores que o previsto, mantenha isso registrado e investigue com os procedimentos de temporização já estudados antes de interpretar os tempos da resposta.

Um patamar é um trecho com várias amostras próximas entre si, não um único valor que parece conveniente. No registro do ensaio, procure uma pequena janela estável antes da mudança de PWM e outra após a resposta deixar de evoluir visivelmente.

Use a média de cada janela para reduzir o efeito de quantização, ondulação residual do PWM e pequenas flutuações:

• V_i: média no patamar inicial;
• V_f: média no patamar final.

Preserve sempre as linhas brutas do Monitor Serial. As médias são cálculos de análise, não substitutos dos registros originais.

Considere esta tabela didática, diferente dos dados do seu circuito. As janelas já foram escolhidas em regiões estáveis de uma resposta crescente. A tensão é a conversão da leitura ADC usando a referência adotada no ensaio.

O valor enviado a analogWrite() vai de 0 a 255. Para expressar o comando em uma escala física mais clara, use o ciclo de trabalho D entre 0 e 1:

D = valor_PWM / 255

Para o degrau aplicado no ensaio, de 64 para 192:

• D_i = 64/255 = 0,251
• D_f = 192/255 = 0,753
• ΔD = D_f − D_i = 0,502

ΔD não tem unidade: é uma variação de ciclo de trabalho.

Na tabela didática, V_i = 1,245 V, V_f = 3,735 V e o PWM mudou de 64 para 192. Complete o ganho estático usando D = PWM/255.

Em uma resposta aproximadamente de primeira ordem, a constante de tempo experimental pode ser estimada pelo ponto em que a saída percorreu 63,2% da mudança total após o degrau.

Use os patamares que você já estimou no registro bruto:

V₆₃ = Vᵢ + 0,632 × (V_f − Vᵢ)

O percentual é aplicado à variação entre os patamares, não diretamente ao valor final. Portanto, calcular 0,632 × V_f só funcionaria por coincidência se Vᵢ fosse zero.

No mesmo exemplo, suponha estas amostras:

| Tempo relativo | Tensão |
| --- | --- |
| 440 ms | 2,71 V |
| 460 ms | 2,79 V |

O nível de 2,78 V está entre elas. Com aquisição a cada 20 ms, você pode informar uma estimativa compatível com a resolução temporal, por exemplo t₆₃ ≈ 460 ms. Uma interpolação pode refinar o número, mas não elimina as incertezas de amostragem, ADC, PWM e patamares estimados.

Como t₀ = 0 ms neste caso, τ ≈ t₆₃ − t₀ ≈ 0,46 s. Em seu ensaio, subtraia sempre o instante registrado da mudança de comando; não use o início do programa nem o instante em que uma linha apareceu no Monitor Serial.

Uma resposta tem Vᵢ = 0,80 V e V_f = 3,80 V. Complete o valor aproximado do nível de 63,2% em volts.

V₆₃ = 0,80 + 0,632 × (3,80 − 0,80) ≈ ____ V

Tempo de acomodação: entrar e permanecer

Após o degrau, a saída se aproxima de um patamar final estimado, \(V_f\). O tempo de acomodação \(t_s\) é o intervalo entre o instante do degrau \(t_0\) e a primeira amostra da entrada definitiva em uma faixa declarada ao redor de \(V_f\).

Neste tutorial, a faixa é:

\[
V_f \pm 2\%\,|\Delta V|
\]

O percentual é relativo à mudança entre os patamares, \(|\Delta V|=|V_f-V_i|\), e não a \(V_f\). Declare sempre o critério usado: outro critério pode ser válido, mas não deve ser trocado silenciosamente.

Para encontrar \(t_s\):

1. Use os mesmos \(V_i\), \(V_f\), \(\Delta V\) e \(t_0\) já estimados a partir dos dados brutos.
2. Calcule os limites inferior e superior da faixa.
3. Percorra as amostras após o degrau.
4. Descarte uma entrada na faixa se houver uma saída posterior.
5. Escolha a primeira amostra que entra na faixa depois da última saída observada. Então, \(t_s\approx t-t_0\).

Como o registro é discreto, o resultado é limitado pelo período de amostragem: o instante real pode estar entre duas amostras. Informe o valor como estimativa, junto com o período de aquisição.

No exemplo, a amostra de 1,20 s não define acomodação: a curva volta a sair da faixa em 1,40 s. A entrada definitiva observada ocorre em 1,60 s. Portanto:

\[
t_s\approx1{,}60\ \text{s}
\]

Isso significa “permaneceu na faixa até o fim da janela observada”, não uma garantia infinita. Se o registro terminasse em 1,60 s, não haveria evidência de permanência; seria necessário observar por mais tempo.

Não aumente a faixa apenas para fazer a curva parecer acomodada e não filtre os dados somente para obter um \(t_s\) menor ou mais estável. Se usar outro critério, registre a faixa e a justificativa.

A faixa precisa ser mensurável. Compare sua meia largura, \(0{,}02|\Delta V|\), com:

• a resolução em volts do ADC;
• as flutuações vistas no patamar final;
• a repetibilidade das amostras próximas aos limites.

Se a margem for comparável a um degrau de quantização ou menor que as flutuações normais, cruzamentos isolados podem mudar apenas por ruído ou arredondamento. Nesse caso, não trate \(t_s\) como conclusão confiável: registre a limitação e, se necessário, amplie a observação ou declare um critério alternativo antes da análise.

Em um degrau crescente, há sobre-elevação quando a tensão atinge um pico acima do patamar final antes de se estabilizar. O valor relevante é o maior valor observado, \(V_{pico}\), comparado com \(V_f\).

No RC ideal de primeira ordem, a resposta média esperada é monotônica: ela se aproxima de \(V_f\) sem ultrapassá-lo. Por isso, um pico claro não deve ser atribuído automaticamente ao RC.

Para uma mudança não nula, calcule a sobre-elevação percentual por:

\[
M_p = 100 \times \frac{\max(0, V_{pico}-V_f)}{|V_f-V_i|}
\]

O numerador conta apenas o excesso acima do final. O denominador é a mudança completa entre patamares, não o valor final. O termo \(\max(0,\ldots)\) faz com que uma curva sem pico acima de \(V_f\) resulte em 0%.

O maior valor amostrado pode não ser o maior valor que existiu entre duas aquisições. Assim, se nenhum pico aparece nos seus dados, a conclusão adequada é: não houve pico observado nas condições de amostragem do ensaio.

Registre o período de aquisição e preserve os dados brutos. Se uma excursão for pequena e comparável à ondulação do PWM, ao ruído ou a poucos níveis do ADC, trate-a como inconclusiva; não filtre os dados apenas para obter uma resposta aparentemente sem pico.

Você vai observar duas versões da mesma medição: a tensão bruta convertida da leitura do ADC e uma tensão filtrada por software. O comando PWM, o circuito RC e o período nominal de aquisição de 20 ms permanecem iguais.

Logo, uma diferença entre as curvas não representa uma alteração física do resistor ou do capacitor. A suavização e o atraso adicionais na coluna filtrada vêm do processamento aplicado após cada aquisição.

Copie o sketch completo para um arquivo novo na Arduino IDE. Ele preserva o PWM no pino 3, a leitura em A0, o degrau de 64 para 192 e a aquisição nominal de 20 ms. A cada leitura, registra as tensões bruta e filtrada; o filtro usa α = 0,04 e começa na primeira amostra válida.

A condição de encerramento está em else if. Portanto, no ciclo que aplica o degrau ela não é avaliada com uma marca de tempo anterior a stepUs; o ensaio continua registrando durante a janela de 4 s posterior ao degrau.

Envie o sketch com a mesma montagem segura dos passos anteriores e abra o Monitor Serial em 115200 baud. Reinicie a placa para obter os cabeçalhos e copie o registro completo para um arquivo local.

Não misture colunas de ensaios diferentes. Para esta comparação, use linhas de uma única execução: v_raw_v e v_filt_v foram calculadas a partir da mesma leitura e possuem o mesmo tempo e comando. Preserve também os cabeçalhos # VREF_V, # ALPHA e # STEP_AT_US.

Compare as duas colunas separadamente, usando os critérios já adotados:

1. Em cada coluna, estime os patamares inicial e final por janelas estáveis.
2. Calcule o respectivo nível de 63,2% a partir dos patamares daquela coluna e localize o cruzamento.
3. Determine a acomodação com a faixa de ±2% da mudança entre os patamares daquela coluna.
4. Compare os instantes relativos ao mesmo # STEP_AT_US.

É esperado que a curva filtrada cruze depois e, em geral, se acomode depois. Ela parece mais limpa porque reduz flutuações, mas essa aparência não torna a resposta física mais rápida.

Feche o ensaio com um relato rastreável

Uma caracterização útil permite que outra pessoa entenda o que foi medido, como foi calculado e o que os dados realmente sustentam.

No seu relato curto, informe:

1. Montagem: PWM do pino 3, resistor de 4,7 kΩ, capacitor de 100 µF e leitura em A0.
2. Condições de medição: referência do ADC adotada, comandos PWM inicial e final, período real de aquisição e duração observada após o degrau.
3. Métricas: V_i, V_f, ΔD, K, τ, faixa de acomodação, tempo de acomodação e sobre-elevação, sempre com unidades e critério.
4. Evidências e limites: estabilidade do patamar final, resolução/ruído, duração suficiente ou necessidade de ampliar o registro.

Não apresente uma estimativa como certeza se o registro não tiver evidência suficiente para ela.

Separe a origem de cada resultado

• Circuito próprio: tensões, instantes, período real, patamares, ganho, τ e acomodação obtidos das suas medições.
• Tabela didática: qualquer cálculo de sobre-elevação feito com o registro numérico fornecido no tutorial é um exemplo de método, não uma medição do seu RC.
• Sinal filtrado: use-o para mostrar a suavização e o atraso de processamento. Mantenha a coluna bruta como referência da dinâmica física observada.

Se o patamar final ainda tinha tendência, se a faixa de ±2% era menor que a flutuação ou resolução útil, ou se a observação foi curta, escreva isso. Nessa situação, a conclusão correta pode ser: “métrica inconclusiva; é necessário registrar por mais tempo ou revisar o critério”.