Carga, descarga e constante de tempo RC

Uma comutação troca o circuito de uma configuração anterior por outra posterior. Chamamos de t = 0 o instante dessa troca.

Um degrau é uma tensão que muda entre dois valores constantes, como uma fonte que passa de 0 V para 5 V. O capacitor, porém, não acompanha esse salto em sua própria tensão quando a corrente do circuito é limitada por resistores.

Use estas marcações:

• 0−: imediatamente antes de comutar;
• 0+: imediatamente depois de comutar.

Para um capacitor ideal nesse circuito, vale: v_C(0+) = v_C(0−). Ou seja, a tensão do capacitor começa o transiente exatamente no valor que já possuía.

Para prever os extremos da curva, separe mentalmente dois circuitos:

1. Antes da chave mudar: determine a tensão que o capacitor já tinha. Esse é V_inicial = v_C(0−).
2. Muito tempo depois da mudança: analise somente a configuração posterior em regime contínuo. Para isso, o capacitor ideal não conduz corrente contínua. A tensão entre seus terminais nessa condição é V_final.

A continuidade dá o primeiro ponto: v_C(0+) = V_inicial. A rede resistiva posterior determina o destino: v_C(t longo) = V_final.

Não suponha que V_inicial seja 0 V. Um capacitor pode ter sido carregado na configuração anterior.

Um capacitor tem 2 V imediatamente antes de uma chave conectá-lo, por meio de um resistor, a uma fonte ideal de 6 V. A chave permanece nessa nova posição por bastante tempo.

Qual descrição é compatível com a tensão v_C?

A constante de tempo de um circuito RC é:

τ = R_eq × C

• τ é medida em segundos (s).
• C é a capacitância em farads (F).
• R_eq é a resistência equivalente que o capacitor “enxerga” depois da mudança da chave.

Ela indica a escala de tempo do transiente: maior τ significa uma mudança mais lenta; menor τ, uma mudança mais rápida.

Não escolha automaticamente o resistor fisicamente mais próximo do capacitor. O que importa são todos os caminhos resistivos disponíveis entre seus terminais na configuração que permanece após a comutação.

Procedimento para calcular R_eq

1. Fixe mentalmente a chave na posição posterior à comutação.
2. Retire o capacitor do esquema, deixando visíveis seus dois terminais.
3. Anule as fontes independentes apenas no modelo: uma fonte ideal de tensão vira um curto; uma fonte ideal de corrente viraria circuito aberto.
4. Calcule a resistência equivalente entre os dois terminais deixados pelo capacitor.
5. Use τ = R_eq × C.

O curto usado no desenho é uma transformação matemática da fonte ideal de tensão. Nunca faça um curto físico nos terminais de uma fonte real para aplicar esse método.

É comum usar uma chave para selecionar configurações diferentes. Imagine um capacitor de 100 µF:

• Na posição de carga, ele enxerga 4,7 kΩ: τ_carga = 4,7 kΩ × 100 µF = 0,47 s.
• Na posição de descarga, ele enxerga 10 kΩ || 10 kΩ = 5 kΩ: τ_descarga = 5 kΩ × 100 µF = 0,50 s.

Mesmo capacitor, duas resistências vistas e duas constantes de tempo. A análise sempre começa pela configuração posterior à mudança da chave.

Conte o tempo em constantes de tempo

Em vez de olhar apenas para segundos, compare o tempo decorrido com a constante de tempo τ:

t/τ = número de constantes de tempo transcorridas

Por exemplo, se τ = 2 s:

• em 2 s, passou 1τ;
• em 6 s, passaram 3τ;
• em 10 s, passaram 5τ.

Essa escala permite comparar circuitos diferentes. Um circuito com τ de 10 s e outro com τ de 0,1 s seguem as mesmas proporções em 1τ, 3τ e 5τ; só mudam os tempos no relógio.

O que ainda falta mudar?

A distância entre a tensão atual do capacitor e a tensão final diminui pelo fator:

e^(−t/τ)

Não é necessário derivar essa expressão. Para usar a ideia, leia e^(−t/τ) como a fração da diferença inicial que ainda resta.

Assim, em 1τ, resta aproximadamente 36,8% da diferença; em 3τ, restam 5%; em 5τ, somente 0,7%.

A fração que já percorreu o caminho é o complemento:

percurso realizado = 100% − diferença restante

Relacione cada instante à interpretação correta. Pense primeiro na fração que ainda resta e, depois, na fração do percurso já realizada.

Dizer que o transiente chegou a 5τ significa que ele está muito próximo do equilíbrio: cerca de 99,3% do percurso foi realizado. Porém, no modelo exponencial ideal, a diferença só se aproxima de zero; ela não se torna matematicamente zero em um tempo finito.

Portanto, “5τ” é um critério prático de proximidade, não uma prova de que o capacitor está descarregado. Em uma montagem real, uma descarga só é confirmada por uma medição de tensão residual apropriada — assunto que será aplicado mais adiante.

Depois da comutação, mantenha em mente a configuração que permanece ativa e use:

v_C(t) = V_final + (V_inicial − V_final) × e^(−t/τ)

• V_inicial é a tensão no capacitor no instante imediatamente após a mudança; ela é igual à tensão imediatamente antes.
• V_final é a tensão para a qual a nova configuração tende.
• τ é a constante de tempo dessa configuração.
• e^(−t/τ) é a fração da diferença até o valor final que ainda resta.

A fórmula não exige que a tensão comece em 0 V nem que termine em 0 V. Ela descreve qualquer transição RC de primeira ordem entre dois valores de tensão.

Use e^(−1) ≈ 0,368 e e^(−3) ≈ 0,0498.

Em dois circuitos independentes:

• Circuito A: o capacitor vai de 0 V a 5 V. Qual é v_C em 1τ?
• Circuito B: o capacitor vai de 5 V a 0 V. Qual é v_C em 3τ?

Escolha o par na ordem A; B.

Adote uma referência antes de calcular: chame de v_C a tensão do terminal superior do capacitor em relação ao terminal inferior. Defina a corrente positiva i atravessando o resistor da fonte (ou do nó externo) em direção ao capacitor.

Com essa escolha, no circuito RC série durante a carga, a queda no resistor é V_fonte − v_C(t). Pela lei de Ohm:

i(t) = [V_fonte − v_C(t)] / R

A tensão do capacitor pode subir enquanto a corrente diminui: à medida que v_C se aproxima de V_fonte, sobra cada vez menos tensão no resistor.

Agora mantenha o mesmo sentido positivo de corrente, do nó externo pelo resistor até o capacitor. Na descarga, a extremidade externa do resistor está em 0 V. Logo, a queda orientada no resistor é 0 − v_C(t):

i(t) = −v_C(t) / R

O sinal negativo não é uma corrente “errada”: ele informa que a corrente real sai do capacitor, atravessa o resistor e vai para 0 V, portanto percorre o resistor no sentido oposto ao definido como positivo.

Para analisar a corrente em um RC série:

1. Declare a polaridade de v_C e o sentido positivo de i.
2. Encontre ou use o valor de v_C(t).
3. Calcule a tensão no resistor usando os nós de suas extremidades.
4. Divida por R. O sinal obtido informa o sentido em relação à referência.

Na carga por uma fonte: i = (V_fonte − v_C)/R. Na descarga para 0 V com a mesma referência: i = −v_C/R.

A tensão do capacitor é contínua quando a corrente é limitada; já a corrente do resistor pode saltar na troca da chave. Depois, seu módulo decai até zero no ramo dedicado ao capacitor ideal. Isso não permite concluir que toda corrente de uma rede maior seja zero: outros ramos resistivos podem continuar conduzindo.

Use uma fonte pronta e isolada de 5 Vcc, resistor de 22 kΩ / 0,25 W, capacitor eletrolítico de 470 µF com tensão nominal de pelo menos 10 V, protoboard, multímetro, cronômetro e uma chave SPDT break-before-make: ela desconecta um contato antes de conectar o outro.

A chave seleciona carga ou descarga sem retirar o resistor do circuito. Assim, o capacitor não fica ligado diretamente entre os polos da fonte.

Faça as ligações com a saída da fonte desabilitada:

1. Ligue o comum da chave a uma extremidade do resistor.
2. Ligue a outra extremidade do resistor ao terminal positivo do capacitor.
3. Ligue o terminal negativo do capacitor ao nó de 0 V.
4. Ligue um contato da chave a +5 V e o outro a 0 V.
5. Coloque o multímetro em tensão contínua, em paralelo com o capacitor: ponta vermelha no positivo e preta no 0 V.

Na carga, o percurso é +5 V → chave → resistor → capacitor → 0 V. Na descarga, a corrente sai do capacitor e atravessa o mesmo resistor até 0 V.

Antes de iniciar, deixe a chave na posição de descarga, com o resistor e o multímetro conectados ao capacitor. Configure a fonte para 5 V, mas mantenha a saída desabilitada enquanto confere a montagem.

Com a alimentação desconectada, confira a tensão residual do capacitor. Só prossiga se ela estiver em até 0,1 V. Então habilite a fonte, registre a tensão real entre +5 V e 0 V e meça a tensão inicial do capacitor.

Na carga, esse valor pode estar próximo de 0 V, mas deve ser medido, não presumido. Use a tensão inicial registrada e a tensão real da fonte para organizar sua previsão.

Com a chave ainda em descarga, anote a tensão inicial do capacitor e deixe o cronômetro pronto. Em seguida, comute a chave para carga e inicie o cronômetro no mesmo gesto, o mais próximo possível.

Mantenha resistor e voltímetro conectados. Registre a tensão indicada e o tempo efetivo do cronômetro em instantes próximos de 1τ, 3τ e 5τ. Para a montagem de referência, com τ nominal de aproximadamente 10,3 s, esses marcos ficam perto de 10,3 s, 30,9 s e 51,5 s.

Anote o tempo que realmente ocorreu, mesmo que não seja exatamente o tempo planejado. A previsão deve corresponder à tensão inicial registrada, à tensão da fonte medida e ao tempo efetivo.

Depois da última leitura de carga, registre a tensão que o capacitor efetivamente alcançou. Esse número será o V_inicial da descarga. Não o substitua automaticamente pela tensão indicada na fonte.

Com o resistor e o voltímetro ainda conectados, prepare novamente o cronômetro. Comute a chave para descarga e reinicie a contagem no mesmo gesto. Registre tensão e tempo efetivo perto de 1τ, 3τ e 5τ.

No exemplo abaixo, a descarga começa em 4,95 V, pois esse foi o último valor medido na carga. Ela tende a 0 V, mas 5τ indica uma aproximação prevista; não é, sozinho, uma confirmação de descarga para manuseio.

Seu registro final deve identificar: a tensão real da fonte; o valor inicial medido de cada transiente; os tempos efetivos; as tensões previstas; e as tensões observadas.

Sem equipamentos, use as tabelas como leituras didáticas, nunca como se fossem medições próprias. Elas mostram o método: a descarga parte de 4,95 V medidos, não de 5,00 V presumidos.

A comparação em 5τ sustenta uma previsão de equilíbrio prático. Já a leitura residual, feita com a alimentação desconectada e a chave em descarga, é a evidência para decidir se a montagem pode ser manuseada.

O modelo RC ideal é uma referência útil, mas o multímetro e os componentes reais também participam da montagem. Ao comparar cálculo e leitura, procure tendências e valores compatíveis: uma diferença pequena, por si só, não prova erro de ligação.

Nesta montagem, o voltímetro fica conectado enquanto o capacitor carrega ou descarrega. Portanto, ele oferece um caminho adicional de corrente e pode modificar tanto a rapidez observada quanto, na carga, a tensão de equilíbrio.

Para prever a rapidez observada, inclua a resistência de entrada do instrumento na resistência vista pelo capacitor:

R_eq = R ∥ R_entrada

Assim, τ_observada = (R ∥ R_entrada) × C. Na montagem de referência, isso vale na carga e na descarga: o voltímetro continua ligado aos terminais do capacitor nas duas posições da chave.

Se R_entrada for muito maior que R, o paralelo fica próximo de R e o efeito pode ser pequeno. Consulte no manual a resistência de entrada da faixa de tensão contínua usada.

Na carga, R e R_entrada formam um divisor entre a fonte e 0 V. Por isso, o valor final deixa de ser exatamente a tensão da fonte:

V_final = V_fonte × R_entrada / (R + R_entrada)

Na descarga, tanto o resistor quanto a entrada do voltímetro levam ao nó de 0 V. O valor final ideal continua sendo 0 V, embora a aproximação possa ser mais rápida do que no cálculo que ignorava o instrumento.

Além do instrumento, use os valores reais como referência. A tolerância de R ou C pode tornar τ maior ou menor que o valor nominal. A fuga do capacitor pode acrescentar outro caminho de corrente e merece investigação quando há um desvio repetido que o modelo com R_entrada não explica.

Por fim, o registro tem limites próprios: o multímetro atualiza em intervalos, arredonda a leitura conforme sua resolução e o acionamento da chave não coincide perfeitamente com o início do cronômetro. Esses limites não mudam necessariamente o circuito; podem deslocar ou dispersar os pontos anotados.

Cenário integrado: antes de t = 0, o capacitor está em 3,0 V. Em t = 0, uma chave conecta-o a uma fonte ideal de 12 V por um resistor de 10 kΩ. O capacitor é de 1000 µF.

Use a referência v_C: terminal superior do capacitor em relação ao terra. Defina i como positiva da fonte, passando pelo resistor, em direção ao capacitor.

Após a comutação, a tensão do capacitor começa em 3,0 V e tende a 12 V. Para calcular a constante de tempo, anule a fonte ideal somente no modelo de resistência vista pelo capacitor: resta R_eq = 10 kΩ.

Assim, τ = R_eq × C = 10 000 Ω × 0,001 F = 10 s.

Em 3τ = 30 s, use e^(−3) ≈ 0,0498:

v_C(30 s) = 12 + (3 − 12) × 0,0498 ≈ 11,55 V

i(30 s) = (12 − 11,55) / 10 kΩ ≈ +44,8 µA.

O sinal positivo confirma que, nesse instante, a corrente ainda entra no capacitor, mas já é pequena.