Sequências numéricas aparecem em quase toda prova de matemática do ensino médio e em boa parte das questões de vestibular. Duas delas concentram a maior parte das cobranças: a progressão aritmética (PA) e a progressão geométrica (PG). A dificuldade raramente está na conta — está em reconhecer qual das duas você tem em mãos e qual fórmula usar. Este guia resolve as duas coisas.
O que é uma progressão
Uma progressão é uma sequência de números construída por uma regra fixa. Você parte de um primeiro termo e aplica sempre a mesma operação para obter o próximo. A diferença entre PA e PG está justamente nessa operação:
- Na PA, você soma sempre o mesmo valor. Esse valor é a razão, representada por r.
- Na PG, você multiplica sempre pelo mesmo valor. Essa razão é representada por q.
Um teste rápido resolve a identificação: calcule a diferença entre termos consecutivos. Se ela for constante, é PA. Se não for, calcule a divisão entre termos consecutivos. Se o quociente for constante, é PG.
Progressão aritmética na prática
Considere a sequência 4, 7, 10, 13, 16… As diferenças são 3, 3, 3 e 3. Temos uma PA de razão 3 e primeiro termo 4.
A fórmula do termo geral permite descobrir qualquer termo sem escrever a sequência inteira:
an = a1 + (n − 1) · r
Para achar o 20º termo do exemplo: a20 = 4 + (20 − 1) · 3 = 4 + 57 = 61.
Note o detalhe que mais causa erro: multiplica-se por (n − 1), e não por n. Faz sentido, porque do primeiro ao vigésimo termo há dezenove passos, não vinte.
Para a soma dos n primeiros termos, usamos:
Sn = (a1 + an) · n / 2
A lógica por trás dela é elegante: se você somar o primeiro com o último termo, o segundo com o penúltimo e assim por diante, todos os pares dão o mesmo resultado. Existem n/2 pares, daí a fórmula. Somando os vinte primeiros termos do exemplo: S20 = (4 + 61) · 20 / 2 = 65 · 10 = 650.
Progressão geométrica na prática
Agora observe 3, 6, 12, 24, 48… As diferenças não são constantes, mas as divisões são: 6/3 = 2, 12/6 = 2, 24/12 = 2. É uma PG de razão 2 e primeiro termo 3.
O termo geral da PG é:
an = a1 · q(n − 1)
O oitavo termo seria a8 = 3 · 27 = 3 · 128 = 384.
Já a soma dos n primeiros termos, quando a razão é diferente de 1, é dada por:
Sn = a1 · (qn − 1) / (q − 1)
Somando os seis primeiros termos: S6 = 3 · (26 − 1) / (2 − 1) = 3 · 63 = 189.
A soma infinita da PG
Há um caso que costuma surpreender quem vê pela primeira vez. Quando o módulo da razão é menor que 1 — ou seja, quando os termos vão ficando cada vez menores —, é possível somar infinitos termos e obter um resultado finito:
S = a1 / (1 − q), válida apenas quando −1 < q < 1.
Na sequência 1, 1/2, 1/4, 1/8, …, temos a1 = 1 e q = 1/2. A soma infinita é 1 / (1 − 1/2) = 2. Some quantos termos quiser: o total se aproxima cada vez mais de 2 sem nunca ultrapassá-lo. É essa fórmula que explica, por exemplo, por que a dízima periódica 0,999… é exatamente igual a 1.
Resumo das fórmulas
| Conceito | Progressão Aritmética | Progressão Geométrica |
|---|---|---|
| Como avança | Soma a razão r | Multiplica pela razão q |
| Como identificar | Diferença constante | Quociente constante |
| Termo geral | a1 + (n − 1)·r | a1 · q(n−1) |
| Soma de n termos | (a1 + an)·n / 2 | a1·(qn − 1)/(q − 1) |
| Soma infinita | Não existe (exceto r = 0) | a1/(1 − q), se |q| < 1 |
| Crescimento | Linear | Exponencial |
Uma questão resolvida passo a passo
Vamos aplicar tudo isso em um problema no estilo das provas. Enunciado: uma academia registrou 120 matrículas no primeiro mês de funcionamento e, a cada mês seguinte, o número de novas matrículas aumentou em 15 unidades em relação ao mês anterior. Quantas matrículas a academia registrou no décimo mês e qual o total acumulado nesses dez meses?
Passo 1 — identificar a progressão. O enunciado diz que o número aumenta em 15 unidades por mês, ou seja, sempre a mesma quantidade somada. Isso caracteriza uma progressão aritmética com a1 = 120 e r = 15.
Passo 2 — encontrar o termo pedido. Aplicando o termo geral: a10 = 120 + (10 − 1) · 15 = 120 + 135 = 255 matrículas no décimo mês.
Passo 3 — calcular a soma. Com o primeiro e o último termo em mãos, basta usar a fórmula da soma: S10 = (120 + 255) · 10 / 2 = 375 · 5 = 1.875 matrículas acumuladas.
Repare que o enunciado nunca usa a palavra “progressão”. Cabe a você traduzir a descrição verbal para a estrutura matemática. Expressões como “aumenta sempre em”, “acrescenta a cada” e “diminui em” apontam para PA. Já expressões como “dobra a cada”, “cresce 10% ao mês” ou “reduz pela metade” indicam PG, porque envolvem multiplicação por um fator fixo.
Onde isso aparece na vida real
Progressões não são apenas exercício escolar. Elas descrevem situações do dia a dia com bastante fidelidade:
- Juros simples seguem uma PA: o valor acrescentado a cada período é sempre o mesmo.
- Juros compostos seguem uma PG: o montante é multiplicado pelo mesmo fator a cada período.
- Depreciação de um veículo que perde uma porcentagem fixa do valor por ano é uma PG de razão menor que 1.
- Fileiras de um auditório em que cada linha tem um número fixo de assentos a mais que a anterior formam uma PA.
Essa diferença entre crescimento linear e exponencial é justamente o que muitas questões de prova querem testar. Uma PA cresce sempre no mesmo ritmo; uma PG de razão maior que 1 acelera, e rapidamente atinge valores muito grandes.
Erros que mais derrubam candidatos
- Usar n em vez de (n − 1) no termo geral.
- Confundir o número de termos com o valor do último termo.
- Aplicar a fórmula da soma infinita quando |q| ≥ 1, caso em que ela não vale.
- Esquecer que a razão pode ser negativa: em uma PG de razão −2, os sinais dos termos se alternam.
- Não conferir se a sequência é realmente uma progressão antes de aplicar as fórmulas.
Conclusão
PA e PG são conteúdos que rendem pontos com pouco esforço, desde que você domine dois movimentos: identificar corretamente o tipo de progressão e escolher a fórmula adequada. O resto é aritmética. Treine com sequências variadas, incluindo razões negativas e fracionárias, até que a identificação se torne automática.
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