Exercícios
Desafie seus conhecimentos de Teoria dos Números neste questionário sobre divisibilidade e congruências. Resolva questões envolvendo divisores, fatoração prima, máximo divisor comum (MDC), mínimo múltiplo comum (MMC), números coprimos e números primos. Explore também o algoritmo de Euclides, contagem de divisores, restos de divisões, aritmética modular, classes de resíduos, último algarismo de potências, congruências lineares, equações diofantinas e o Teorema Chinês dos Restos. Ideal para estudantes que desejam praticar raciocínio matemático e consolidar conceitos fundamentais da matemática discreta.
Responda às questões abaixo e confira a explicação de cada resposta.
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A soma dos algarismos de 573 é 15, que é divisível por 3. Portanto, 573 também é divisível por 3. Ele não é divisível por 9 nem por 11.
Dividindo 360 sucessivamente por números primos, obtemos 360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5, isto é, 2³ · 3² · 5.
As fatorações são 84 = 2² · 3 · 7 e 126 = 2 · 3² · 7. Tomando os fatores comuns com os menores expoentes, temos 2 · 3 · 7 = 42.
O próximo instante simultâneo é o mínimo múltiplo comum de 18 e 24. Como MMC(18, 24) = 72, os sinais voltarão a piscar juntos após 72 segundos.
Como 252 = 2 · 105 + 42, o quociente é 2 e o resto é 42. Esse resto pode ser usado na próxima etapa do algoritmo de Euclides.
Números coprimos possuem máximo divisor comum igual a 1. Como 14 = 2 · 7 e 25 = 5², eles não compartilham fatores primos e são coprimos.
O número 97 não possui divisores primos menores ou iguais à sua raiz quadrada além de 1 e dele mesmo. Já 91 = 7 · 13 e 99 = 9 · 11.
Como 72 = 2³ · 3², cada divisor pode usar de 0 a 3 fatores 2 e de 0 a 2 fatores 3. Assim, a quantidade é (3 + 1)(2 + 1) = 12.
Para dois números positivos, o produto deles é igual ao produto do MDC pelo MMC. Logo, 30 · b = 6 · 180 = 1080, resultando em b = 36.
Como 157 = 13 · 12 + 1, o resto é 1. Em notação de congruência, escrevemos 157 ≡ 1 (mod 12).
A aritmética do relógio é feita módulo 12. Somando 7 a 22, obtemos 29; retirando dois ciclos de 12 horas, resta 5.
Como 3 · 5 = 15 e 15 deixa resto 1 na divisão por 7, o inverso multiplicativo de 3 módulo 7 é 5. Portanto, x ≡ 5 (mod 7).
Os últimos algarismos das potências de 7 repetem o ciclo 7, 9, 3, 1. Como 202 deixa resto 2 na divisão por 4, usamos a segunda posição do ciclo: 9.
Pelo pequeno teorema de Fermat, 2¹² ≡ 1 (mod 13). Como 100 = 8 · 12 + 4, temos 2¹⁰⁰ ≡ 2⁴ = 16 ≡ 3 (mod 13).
Uma equação ax + by = c possui solução inteira somente se MDC(a, b) dividir c. Como MDC(18, 30) = 6 e 6 não divide 7, não existem soluções inteiras.
Os números congruentes a 2 módulo 3 são 2, 5, 8, 11 e assim por diante. O primeiro deles que deixa resto 3 na divisão por 5 é 8.
Como 36 = 2² · 3², a função totiente fornece φ(36) = 36(1 − 1/2)(1 − 1/3) = 12. Portanto, há 12 inteiros nesse intervalo coprimos com 36.
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