Exercícios
Avalie seus conhecimentos sobre parábolas na Geometria Analítica com questões sobre definição geométrica, foco, diretriz, vértice e formas canônicas. Resolva exercícios envolvendo parábolas com eixo horizontal e vertical, identificação de concavidade, cálculo do lado reto e determinação de equações a partir de pontos e condições dadas. O questionário também aborda redução de equações gerais, retas tangentes e quantidade de interseções entre parábolas e retas. Uma oportunidade para revisar conceitos essenciais e aplicar técnicas algébricas e geométricas na resolução de problemas.
Responda às questões abaixo e confira a explicação de cada resposta.
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A parábola é o lugar geométrico dos pontos que possuem a mesma distância de um ponto fixo, chamado foco, e de uma reta fixa, chamada diretriz.
Comparando y² = 12x com y² = 4px, obtemos 4p = 12 e p = 3. Portanto, o foco é F = (3, 0).
Na forma (x − h)² = 4p(y − k), o vértice é (h, k). Como y + 1 = y − (−1), temos h = 2 e k = −1.
Uma parábola vertical com vértice na origem tem forma y = ax². Substituindo (2, 4), resulta 4 = 4a, logo a = 1 e y = x².
O vértice é o ponto médio entre o foco e a diretriz, portanto está na origem. Como p = 2, a forma y² = 4px fornece y² = 8x.
Completando o quadrado: x² − 6x + 9 = 4y + 8. Assim, (x − 3)² = 4(y + 2), com vértice em (3, −2).
Nessa forma, o eixo da parábola é vertical. Quando p < 0, o foco fica abaixo do vértice e a concavidade é voltada para baixo.
O vértice fica no ponto médio entre o foco e a diretriz, ao longo do eixo de simetria. Entre y = 2 e y = −2, o ponto médio possui y = 0.
Na forma y² = 4px, temos 4p = −16 e p = −4. O comprimento do lado reto é |4p|, portanto mede 16 unidades.
A derivada de y = x² é y' = 2x. Em x = 1, a inclinação vale 2 e o ponto é (1, 1). Assim, y − 1 = 2(x − 1), ou y = 2x − 1.
Igualando as equações, x² = 2x + 3, obtemos x² − 2x − 3 = 0. Suas raízes são x = 3 e x = −1, portanto existem dois pontos de interseção.
A forma é (y − 1)² = a(x + 2). Usando o ponto (2, 3), temos 4 = 4a, logo a = 1. Portanto, (y − 1)² = x + 2.
Na interseção, x² = mx + b, ou x² − mx − b = 0. Para haver tangência, essa equação deve ter uma única raiz: Δ = m² + 4b = 0. Logo, b = −m²/4.
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