Exercícios
Este questionário de Números Complexos permite testar seus conhecimentos sobre os principais conceitos e operações do tema. Resolva questões envolvendo a unidade imaginária i, soma, produto e divisão de números complexos, identificação das partes real e imaginária, conjugado e cálculo do módulo. Você também praticará potências de i, forma trigonométrica ou polar, resolução de equações no conjunto dos complexos, potências de binômios e aplicação da fórmula de De Moivre. É uma oportunidade para revisar conteúdos essenciais, desenvolver o raciocínio algébrico e verificar seu domínio sobre números complexos.
Responda às questões abaixo e confira a explicação de cada resposta.
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Por definição, a unidade imaginária satisfaz a relação i² = -1. Essa propriedade permite trabalhar com raízes quadradas de números negativos.
Em z = a + bi, a parte imaginária é o coeficiente de i. Portanto, em 4 - 7i, a parte imaginária é -7.
Somam-se separadamente as partes reais e imaginárias: 3 + 5 = 8 e 2i - 6i = -4i. Logo, o resultado é 8 - 4i.
Expandindo: 6 - 8i + 3i - 4i². Como i² = -1, temos -4i² = 4. Assim, o resultado é 10 - 5i.
O conjugado de a + bi é a - bi. Mantém-se a parte real e troca-se o sinal da parte imaginária.
O módulo é dado por |z| = √(a² + b²). Logo, |3 + 4i| = √(9 + 16) = √25 = 5.
Multiplicando numerador e denominador por -i, obtém-se 1/i = (-i)/(i·-i) = -i/i²? Equivalentemente, i·(-i)=1. Portanto, 1/i = -i.
O número 2i está sobre o eixo imaginário positivo. Seu módulo é 2 e seu argumento principal é π/2, resultando em 2(cos π/2 + i sen π/2).
As potências de i se repetem a cada quatro expoentes. Como 15 deixa resto 3 na divisão por 4, i¹⁵ = i³ = -i.
Da equação z² = -9, temos z = ±√(-9). Como √(-9) = 3i, as soluções são 3i e -3i.
Primeiro, (1+i)² = 1 + 2i + i² = 2i. Em seguida, 2i(1+i) = 2i + 2i² = -2 + 2i.
Pela fórmula de De Moivre, o resultado é cos(6π/3) + i sen(6π/3) = cos 2π + i sen 2π = 1.
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