Exercícios
Teste seus conhecimentos sobre polinômios com questões que abordam definição, grau, coeficientes, raízes e fatores. Explore conceitos importantes como o Teorema do Resto, a relação entre raízes e coeficientes, o Teorema Fundamental da Álgebra, operações entre polinômios e o Binômio de Newton. Você também encontrará exercícios sobre soma das raízes e polinômios mônicos. Responda às perguntas e descubra quanto você domina os fundamentos da álgebra polinomial.
Responda às questões abaixo e confira a explicação de cada resposta.
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Um polinômio é uma expressão algébrica composta por variáveis e coeficientes, envolvendo apenas as operações de adição, subtração, multiplicação e potências não negativas inteiras. Ele pode ter uma ou várias variáveis e é uma das formas básicas de expressões matemáticas que encontramos em álgebra.
O grau de um polinômio é o maior expoente de x com coeficiente não nulo. Em P(x) = 4x^5 + 2x^3 - x + 7, o termo com o maior expoente de x é 4x^5. Assim, o grau do polinômio é 5.
Se um polinômio é dividido por (x - a) e o resto é zero, isso significa que o valor 'a' é uma raiz do polinômio. Ou seja, quando substituímos 'x' por 'a' no polinômio, o resultado é zero, indicando que 'a' é uma solução da equação polinomial.
Um polinômio de grau n pode ter no máximo n raízes reais distintas. Isso ocorre devido ao Teorema Fundamental da Álgebra, que afirma que um polinômio de grau n tem n raízes, considerando suas multiplicidades, e essas raízes podem ser reais ou complexas.
O Teorema Fundamental da Álgebra afirma que todo polinômio de grau n tem exatamente n raízes complexas, contando com multiplicidade. Isso significa que, mesmo que algumas raízes sejam repetidas, o número total de raízes, quando consideradas as multiplicidades, será sempre igual ao grau do polinômio.
A multiplicação de polinômios é feita combinando cada termo do primeiro polinômio com cada termo do segundo, resultando em graus somados, não diluídos. Portanto, a operação descrita na opção 3 está incorreta.
Em um polinômio P(x), se P(c) = 0, isso significa que o valor c é uma raiz do polinômio. Nesse caso, (x - c) é chamado de fator de P(x). Isso ocorre porque um fator é um binômio que, quando multiplicado por outros fatores, resulta em P(x). Assim, se P(x) se anula em c, significa que (x - c) é um divisor de P(x).
O Binômio de Newton descreve a expansão algébrica de um binômio elevado a qualquer potência. É representado pela fórmula: (a + b)n = ∑ (n sobre k) an-k bk, onde o somatório vai de k=0 até n.
Para encontrar a soma das raízes de um polinômio quadrático da forma ax² + bx + c, podemos usar a fórmula: -b/a. No polinômio P(x) = x² - 5x + 6, temos a = 1 e b = -5. Portanto, a soma das raízes é -(-5)/1 = 5.
Um polinômio é chamado de monic quando o seu coeficiente líder, isto é, o coeficiente do termo de maior grau, é 1. Isso significa que em um polinômio de grau n, da forma a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0, o coeficiente a_n é 1.
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