13. Polinômios

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13. Polinômios

Os polinômios são funções matemáticas que possuem uma grande aplicação em diversas áreas, como a física e a engenharia. No conteúdo programático do ENEM, os polinômios são um dos tópicos abordados na matemática, sendo essencial para os candidatos entenderem bem esse assunto para resolverem as questões da prova.

Um polinômio é uma expressão matemática que envolve variáveis e coeficientes. Os coeficientes são números reais e as variáveis são elevadas a potências inteiras não negativas. A soma desses termos forma o polinômio. Cada termo de um polinômio é chamado de monômio. O grau de um polinômio é determinado pelo maior expoente de sua variável.

Representação de um Polinômio

Um polinômio P(x) de grau n na variável x é representado pela expressão:

P(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + a_n-2x^n-2 + ... + a₂x² + a₁x + a₀

Onde, a_n, a_n-1, a_n-2, ..., a₂, a₁ e a₀ são os coeficientes do polinômio e x é a variável. O coeficiente a_n é chamado de coeficiente líder e não pode ser zero.

Operações com Polinômios

As operações com polinômios incluem adição, subtração, multiplicação e divisão. Na adição e subtração, combinamos os termos semelhantes para obter o resultado. Na multiplicação, cada termo do primeiro polinômio é multiplicado por cada termo do segundo polinômio. A divisão de polinômios é um pouco mais complexa e requer o uso do algoritmo de divisão longa ou divisão sintética.

Valor Numérico de um Polinômio

O valor numérico de um polinômio é o resultado que obtemos quando substituímos a variável do polinômio por um número. Por exemplo, se temos o polinômio P(x) = 2x² + 3x + 1 e queremos encontrar o valor de P(2), substituímos x por 2 na expressão do polinômio para obter P(2) = 2(2)² + 3(2) + 1 = 11.

Polinômios Idênticos

Dois polinômios são idênticos se eles têm os mesmos coeficientes e os mesmos graus correspondentes em suas variáveis. Por exemplo, os polinômios P(x) = 2x³ + 3x² - x + 1 e Q(x) = 2x³ + 3x² - x + 1 são idênticos porque eles têm os mesmos coeficientes (2, 3, -1, 1) e os mesmos graus (3, 2, 1, 0) correspondentes em suas variáveis.

Teorema Fundamental da Álgebra

O Teorema Fundamental da Álgebra afirma que todo polinômio de grau n, com n maior que zero, tem exatamente n raízes complexas. Isso significa que podemos resolver qualquer equação polinomial encontrando suas raízes. As raízes de um polinômio são os valores de x que fazem o polinômio igual a zero.

Em resumo, os polinômios são uma parte fundamental da matemática e têm muitas aplicações práticas. No ENEM, o entendimento de polinômios é essencial para resolver muitos problemas matemáticos. Portanto, é importante estudar e entender bem esse tópico.

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