42. Sequências e séries geométricas

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A sequência e série geométrica são conceitos fundamentais na matemática e são frequentemente cobrados na prova do ENEM. Entender esses conceitos pode ajudar os estudantes a resolver uma variedade de problemas, desde simples perguntas de matemática até problemas complexos de física e engenharia.

Uma sequência geométrica é uma sequência de números onde cada termo após o primeiro é encontrado multiplicando o termo anterior por uma constante fixa, chamada de razão. A razão pode ser qualquer número real. A sequência 2, 4, 8, 16, 32 é um exemplo de uma sequência geométrica onde a razão é 2.

Para encontrar o enésimo termo de uma sequência geométrica, usamos a fórmula a_n = a_1 * r^(n-1), onde a_n é o enésimo termo, a_1 é o primeiro termo, r é a razão e n é a posição do termo na sequência.

Por exemplo, para encontrar o 5º termo da sequência geométrica 2, 4, 8, 16, 32, substituímos a_1 por 2, r por 2 e n por 5 na fórmula para obter a_5 = 2 * 2^(5-1) = 2 * 16 = 32, que é o 5º termo da sequência.

Uma série geométrica é a soma dos termos de uma sequência geométrica. Por exemplo, a série 2 + 4 + 8 + 16 + 32 é uma série geométrica onde a razão é 2.

Para encontrar a soma dos primeiros n termos de uma série geométrica, usamos a fórmula S_n = a_1 * (1 - r^n) / (1 - r), onde S_n é a soma dos primeiros n termos, a_1 é o primeiro termo, r é a razão e n é o número de termos.

Por exemplo, para encontrar a soma dos primeiros 5 termos da série geométrica 2 + 4 + 8 + 16 + 32, substituímos a_1 por 2, r por 2 e n por 5 na fórmula para obter S_5 = 2 * (1 - 2^5) / (1 - 2) = 2 * (-31) / (-1) = 62, que é a soma dos primeiros 5 termos da série.

É importante notar que a fórmula para a soma dos primeiros n termos de uma série geométrica só é válida se a razão r for diferente de 1. Se a razão for 1, a série é uma série constante e a soma dos primeiros n termos é simplesmente n vezes o primeiro termo.

Além disso, se a razão for maior que 1 ou menor que -1, a série geométrica é uma série divergente, o que significa que a soma dos termos tende ao infinito à medida que n tende ao infinito. Se a razão estiver entre -1 e 1, a série geométrica é uma série convergente, o que significa que a soma dos termos tende a um número fixo à medida que n tende ao infinito.

Em resumo, as sequências e séries geométricas são conceitos matemáticos importantes que são frequentemente cobrados na prova do ENEM. Entender esses conceitos pode ajudar os estudantes a resolver uma variedade de problemas e a se sair bem na prova.

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