18. Progressões aritméticas e geométricas

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Progressões aritméticas e geométricas são tópicos fundamentais no estudo da matemática e são frequentemente cobrados na prova do Enem. Elas são sequências numéricas que seguem regras específicas e previsíveis, tornando-as uma ferramenta útil para resolver uma variedade de problemas matemáticos.

Em uma Progressão Aritmética (PA), cada termo (exceto o primeiro) é a soma do termo anterior com uma constante, chamada de razão. Por exemplo, em uma sequência 2, 4, 6, 8, cada termo é 2 mais que o termo anterior, então a razão é 2. A fórmula geral para o enésimo termo de uma PA é a1 + (n-1)*r, onde a1 é o primeiro termo, r é a razão e n é o número do termo que queremos encontrar.

Para entender melhor, vamos considerar uma PA onde o primeiro termo é 3 e a razão é 5. Se quisermos encontrar o 4º termo, substituímos na fórmula: 3 + (4-1)*5 = 3 + 15 = 18. Portanto, o 4º termo é 18.

A soma dos primeiros n termos de uma PA também pode ser calculada pela fórmula S = n/2 * (a1 + an), onde S é a soma, n é o número de termos, a1 é o primeiro termo e an é o enésimo termo. Se, no exemplo anterior, quisermos somar os primeiros 4 termos, teríamos S = 4/2 * (3 + 18) = 2 * 21 = 42.

Em uma Progressão Geométrica (PG), cada termo (exceto o primeiro) é o produto do termo anterior por uma constante, chamada de razão. Por exemplo, em uma sequência 2, 4, 8, 16, cada termo é 2 vezes o termo anterior, então a razão é 2. A fórmula geral para o enésimo termo de uma PG é a1 * r^(n-1), onde a1 é o primeiro termo, r é a razão e n é o número do termo que queremos encontrar.

Considerando uma PG onde o primeiro termo é 2 e a razão é 3. Se quisermos encontrar o 4º termo, substituímos na fórmula: 2 * 3^(4-1) = 2 * 27 = 54. Portanto, o 4º termo é 54.

A soma dos primeiros n termos de uma PG pode ser calculada pela fórmula S = a1 * (1 - r^n) / (1 - r) se a razão for diferente de 1. No exemplo anterior, se quisermos somar os primeiros 4 termos, teríamos S = 2 * (1 - 3^4) / (1 - 3) = 2 * (-80) / -2 = 80.

É importante notar que as progressões aritméticas e geométricas são apenas dois tipos de sequências numéricas. Existem muitos outros tipos, mas esses são os mais comuns e são frequentemente encontrados em uma variedade de contextos, desde problemas de matemática pura até aplicações práticas em ciências físicas e econômicas.

Por fim, é essencial praticar a resolução de problemas envolvendo PA e PG para se familiarizar com suas propriedades e ser capaz de aplicá-las efetivamente na prova do Enem. Lembre-se, a matemática é uma disciplina que exige prática contínua para aperfeiçoar suas habilidades e desenvolver sua intuição.

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