3. Números complexos

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Os números complexos são uma extensão do conjunto dos números reais e são muito importantes para a matemática e suas aplicações, incluindo a física e a engenharia. Eles são frequentemente usados ​​no Ensino Médio e em questões do ENEM, então entender esse tópico é crucial para um bom desempenho na prova.

Um número complexo é um número da forma a + bi, onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária, que tem a propriedade de que i² = -1. A parte a é chamada de parte real do número complexo, e a parte bi é chamada de parte imaginária. Por exemplo, se temos o número complexo 3 + 4i, então 3 é a parte real e 4 é a parte imaginária.

Os números complexos podem ser representados graficamente no plano complexo, que é semelhante ao plano cartesiano que usamos para representar números reais. A diferença é que o eixo x representa a parte real do número complexo e o eixo y representa a parte imaginária. Portanto, o número complexo a + bi é representado como um ponto no plano cujas coordenadas são (a, b).

Existem várias operações que podemos realizar com números complexos, incluindo adição, subtração, multiplicação e divisão. A adição e a subtração são realizadas adicionando ou subtraindo respectivamente as partes reais e as partes imaginárias. Por exemplo, se temos os números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di, então z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i e z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i.

A multiplicação é um pouco mais complicada, mas ainda é bastante direta. Se temos os números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di, então z1 * z2 = (ac - bd) + (ad + bc)i. Observe que o produto de dois números complexos é outro número complexo.

A divisão de números complexos é um pouco mais complicada, mas também é possível. Se temos os números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di, então z1 / z2 = (ac + bd) / (c² + d²) + (bc - ad) / (c² + d²)i. Observe que o denominador é sempre um número real, então o resultado é um número complexo.

Os números complexos também possuem um conceito de módulo e argumento, que são análogos à magnitude e ângulo de um vetor no plano. O módulo de um número complexo z = a + bi é dado por |z| = sqrt(a² + b²), que é a distância do ponto representando z até a origem no plano complexo. O argumento de z é o ângulo que a linha do ponto até a origem faz com o eixo x positivo, medido no sentido anti-horário.

Os números complexos também possuem um conceito de conjugado, que é obtido trocando o sinal da parte imaginária. O conjugado de um número complexo z = a + bi é denotado por z̅ e é dado por z̅ = a - bi. O conjugado tem a propriedade de que z * z̅ = |z|².

Em resumo, os números complexos são uma extensão dos números reais que permitem realizar cálculos que não seriam possíveis com apenas números reais. Eles são essenciais para muitas áreas da matemática e suas aplicações, e um bom entendimento deles é crucial para o ENEM e outros exames de matemática.

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44. Teoria dos conjuntos