56. Funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras

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As funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras são conceitos fundamentais na matemática e são frequentemente abordadas nas questões do ENEM. Para entender essas funções, é importante primeiro entender o que é uma função.

Uma função é uma relação entre dois conjuntos, em que a cada elemento do primeiro conjunto (domínio) corresponde a um único elemento do segundo conjunto (contradomínio). Dito isto, vamos entender cada uma das funções.

Funções Injetoras

Uma função f é dita injetora (ou injetiva) se, e somente se, elementos diferentes do domínio têm imagens diferentes no contradomínio. Em outras palavras, não há dois valores diferentes no domínio que correspondam ao mesmo valor no contradomínio. Matematicamente, isto é expresso como: se x1 ≠ x2, então f(x1) ≠ f(x2).

Por exemplo, a função f(x) = 2x + 3 é uma função injetora. Se você pegar dois valores diferentes de x, digamos 1 e 2, você obterá dois valores diferentes de f(x), que são 5 e 7, respectivamente.

Funções Sobrejetoras

Uma função f é dita sobrejetora (ou sobrejetiva) se, e somente se, todo elemento do contradomínio é imagem de pelo menos um elemento do domínio. Em outras palavras, não há valores no contradomínio que não sejam correspondentes a algum valor no domínio. Matematicamente, isto é expresso como: para todo y no contradomínio, existe um x no domínio tal que f(x) = y.

Por exemplo, a função f(x) = x² é uma função sobrejetora se considerarmos o domínio e o contradomínio como os conjuntos de todos os números reais. Todo número real é o quadrado de algum outro número real.

Funções Bijetoras

Uma função f é dita bijetora (ou bijetiva) se, e somente se, ela é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora. Em outras palavras, a cada elemento do domínio corresponde um único elemento do contradomínio, e vice-versa. Matematicamente, isto é expresso como: se x1 ≠ x2, então f(x1) ≠ f(x2) e para todo y no contradomínio, existe um x no domínio tal que f(x) = y.

Por exemplo, a função f(x) = 2x + 3 é uma função bijetora se considerarmos o domínio e o contradomínio como os conjuntos de todos os números reais. Cada número real é o resultado de 2x + 3 para algum número real x, e não há dois números reais diferentes que resultem no mesmo valor de f(x).

Entender as funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras é crucial para a resolução de muitos problemas de matemática. Estes conceitos são fundamentais para o estudo de funções, que é uma parte importante do currículo de matemática do ENEM. Espero que este texto tenha ajudado a esclarecer estes conceitos.

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