Des exercices
Ce quiz évalue votre compréhension du cercle trigonométrique : conversion des angles, coordonnées d'un point, quadrants, angles associés, valeurs exactes du sinus, du cosinus et de la tangente. Les questions abordent également les équations trigonométriques simples, les longueurs d'arc et les rotations. Les exercices progressent de notions fondamentales vers des calculs et raisonnements plus avancés.
Répondez aux questions ci-dessous et consultez l'explication de chaque réponse.
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Un tour complet mesure 360°, soit 2π radians. Un demi-tour de 180° mesure donc π radians.
Sur le cercle trigonométrique, les coordonnées sont (cos θ, sin θ). Pour θ = π/3, cos θ = 1/2 et sin θ = √3/2.
Comme 5π/4 correspond à 225°, son rayon terminal se trouve entre π et 3π/2, donc dans le troisième quadrant.
Le point associé à θ possède les coordonnées (cos θ, sin θ). Le sinus est donc son ordonnée.
Deux angles associés au même point diffèrent d'un multiple de 2π. Ainsi, -π/6 + 2π = 11π/6.
Le cosinus est une fonction paire. Les points associés à x et -x ont la même abscisse, donc cos(-x) = cos(x).
L'angle 7π/6 est égal à π + π/6. Dans le troisième quadrant, le sinus est négatif. Sa valeur est donc -sin(π/6) = -1/2.
Comme tan x = sin x / cos x, elle n'est pas définie lorsque cos x = 0, soit pour x = π/2 + kπ.
Le cosinus est l'abscisse du point sur le cercle. Elle est nulle aux points supérieur et inférieur, associés à π/2 et 3π/2.
La longueur d'arc est donnée par s = rθ lorsque θ est en radians. Avec r = 1 et θ = 2,4, on obtient s = 2,4.
Les coordonnées (cos x, sin x) appartiennent au cercle unité, dont l'équation est X² + Y² = 1. Ainsi, sin² x + cos² x = 1.
On utilise tan θ = sin θ / cos θ. Ici, tan θ = (4/5) / (-3/5) = -4/3.
Un sinus positif correspond à une ordonnée positive et un cosinus négatif à une abscisse négative. Le point se trouve donc dans le deuxième quadrant.
Dans le quatrième quadrant, l'angle de référence vaut 2π - 5π/3, soit π/3.
Le sinus vaut √3/2 pour un angle de référence π/3. Comme il est positif dans les deux premiers quadrants, les solutions sont π/3 et 2π/3.
En écrivant 75° = 45° + 30° et en utilisant la formule d'addition, on obtient cos 75° = (√6 - √2)/4.
En 3 secondes, le point parcourt 3/8 d'un tour. L'angle correspondant est (3/8) × 2π = 3π/4.
Une rotation de -2π/3 correspond à -120°. Le point obtenu a pour coordonnées (cos(-2π/3), sin(-2π/3)), soit (-1/2, -√3/2).
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