Cours en ligne gratuit Algèbre linéaire complète : matrices, espaces vectoriels et diagonalisation
Durée du cours en ligne : 5 heure et 10 minutes
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Cours gratuit d’algèbre linéaire : matrices, systèmes linéaires, espaces vectoriels, orthogonalité, valeurs propres et diagonalisation.
Dans ce cours gratuit, découvrez
Systèmes linéaires et méthodes de résolution (Gauss / Gauss-Jordan)
Calcul matriciel : produit, transposée et matrices particulières
Inverses, matrices élémentaires et déterminants
Espaces vectoriels : axiomes, combinaisons linéaires et sous-espaces
Transformations linéaires et représentations matricielles
Bases, coordonnées et changement de base
Produit scalaire, normes et orthogonalité
Valeurs propres et diagonalisation
Nombres complexes : formes, opérations et racines
À propos du cours en ligne gratuit
Ce cours en ligne gratuit propose une approche complète et progressive de l’algèbre linéaire, avec une mise en pratique structurée autour des matrices, des espaces vectoriels et de la diagonalisation. Idéal pour consolider ses bases ou reprendre les notions essentielles, il met l’accent sur la compréhension des méthodes et sur la maîtrise des outils de calcul.
Vous apprendrez à modéliser et résoudre des systèmes linéaires grâce aux méthodes de Gauss et de Gauss-Jordan, à manipuler les matrices (produit, transposée, inverse, matrices élémentaires) et à utiliser les déterminants et la règle de Cramer lorsque cela s’y prête. La progression permet de passer des techniques de calcul aux concepts fondamentaux qui structurent la discipline.
Le parcours couvre aussi les notions clés d’espaces vectoriels, combinaisons et indépendance linéaires, sous-espaces, bases et changements de base, ainsi que la représentation matricielle des transformations linéaires. Une place importante est accordée au produit scalaire, aux normes, projections, orthogonalité et au procédé de Gram-Schmidt, jusqu’à la diagonalisation des matrices symétriques et l’étude des valeurs propres et vecteurs propres.
Une ouverture sur les nombres complexes complète l’ensemble, afin d’élargir les outils de calcul et de représentation. Le tout vise à vous rendre autonome pour aborder des exercices classiques et des applications en mathématiques, sciences et ingénierie.
Contenu du cours
Leçon vidéo : Système d'équations linéaires04m
Exercice: Quelle forme caractérise une équation linéaire en inconnues x1, x2, …, xn ?
Leçon vidéo : Représentation d'un système d'équations linéaires sous forme matricielle05m
Leçon vidéo : Opérations élémentaires sur les lignes07m
Exercice: Quand dit-on que deux systèmes d’équations linéaires sont équivalents ?
Leçon vidéo : Forme échelonnée d'une matrice07m
Leçon vidéo : Méthode de Gauss - Solution unique07m
Exercice: Quel est l’objectif principal de la méthode de Gauss pour résoudre un système linéaire ?
Leçon vidéo : Méthode de Gauss - Infinité de solutions07m
Leçon vidéo : Méthode de Gauss - Aucune solution06m
Exercice: Quel est l’objectif principal de la méthode de Gauss appliquée à un système linéaire ?
Exercice: Quel signe permet de conclure qu’un système n’a aucune solution après échelonnement ?
Exercice: Pourquoi peut-on conclure que deux systèmes équivalents ont le même ensemble de solutions ?
Leçon vidéo : Forme échelonnée réduite d'une matrice05m
Leçon vidéo : Méthode de Gauss-Jordan - Solution unique07m
Exercice: Quel est l’objectif principal de la méthode de Gauss-Jordan pour résoudre un système linéaire ?
Leçon vidéo : Méthode de Gauss-Jordan - Infinité de solutions08m
Leçon vidéo : Méthode de Gauss-Jordan - Aucune solution06m
Exercice: Que vise la méthode de Gauss-Jordan lors de la résolution d’un système linéaire ?
Exercice: Dans une matrice augmentée échelonnée (non réduite), que cherche-t-on d’abord à obtenir sous les pivots ?
Exercice: Quel signe indique qu’un système n’a aucune solution après réduction de la matrice augmentée ?
Leçon vidéo : Multiplication matricielle07m
Leçon vidéo : Définition de la multiplication matricielle03m
Exercice: Condition pour que le produit matriciel A×B soit défini
Leçon vidéo : Propriétés de la multiplication matricielle05m
Leçon vidéo : La transposition matricielle02m
Exercice: Quel est l’effet de la transposition sur les dimensions d’une matrice ?
Exercice: Quel lien relie les coefficients de A et de sa transposée Aᵀ ?
Exercice: Si une matrice A est de taille 3×5, quelle est la taille de sa transposée Aᵀ ?
Leçon vidéo : Propriétés de la transposition matricielle03m
Leçon vidéo : Matrices symétriques et antisymétriques03m
Exercice: Quelle condition caractérise une matrice symétrique ?
Leçon vidéo : Définition de l'inverse matriciel05m
Leçon vidéo : Propriétés de l'inverse matriciel03m
Leçon vidéo : Matrices élémentaires05m
Leçon vidéo : Déterminer l'inverse matriciel - Algorithme de Gauss-Jordan05m
Exercice: Quel est le principe de l’algorithme de Gauss-Jordan pour trouver l’inverse d’une matrice ?
Leçon vidéo : Déterminant d'une matrice 2 x 202m
Leçon vidéo : Cofacteur04m
Exercice: Comment obtient-on la sous-matrice à la position (i,j) d'une matrice ?
Leçon vidéo : Déterminant d'une matrice n x n07m
Leçon vidéo : Calcul du déterminant avec opérations élémentaires sur les lignes06m
Exercice: Quel est le déterminant d'une matrice triangulaire ?
Leçon vidéo : Règle de Cramer09m
Leçon vidéo : Espace vectoriel - Les axiomes07m
Exercice: Dans un espace vectoriel, quelle propriété signifie que la somme de deux éléments de l'ensemble appartient encore à l'ensemble ?
Leçon vidéo : Espace vectoriel - Exemple10m
Leçon vidéo : Combinaison linéaire06m
Exercice: Quelle condition définit le fait que U soit une combinaison linéaire de V1, V2, ..., Vp ?
Leçon vidéo : Indépendance linéaire05m
Leçon vidéo : Sous-espace vectoriel06m
Exercice: Quelles sont les trois propriétés essentielles à vérifier pour montrer qu’un sous-ensemble H de V est un sous-espace vectoriel ?
