Cours en ligne gratuitMathématiques pour les L1
Durée du cours en ligne : 7 heure et 26 minutes
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Cours en ligne gratuit pour les L1 en mathématiques, couvrant les inéquations, valeurs absolues, ensembles, fonctions, dérivées, limites et intégrales pour une solide base en maths.
Dans ce cours gratuit, découvrez
- Inéquations, valeur absolue et intervalles réels
- Logique propositionnelle et connecteurs
- Implication, réciproque et contraposée
- Ensembles, opérations ensemblistes et paradoxes
- Quantificateurs et négation logique
- Applications, bijections et opérations sur les fonctions
- Limites de fonctions et continuité
- Dérivation : définition, règles et premières applications
- Étude des fonctions : extrema et asymptotes
- Dérivées d’ordre supérieur et développements limités
- Composées, limites et asymptotes via développements limités
- Primitives et intégrales : définitions et propriétés
- Techniques d’intégration et fonctions réciproques usuelles
- Approfondissements sur les ensembles et théorème des valeurs intermédiaires
Descriptif du cours
Le cours intitulé "Mathématiques pour les L1" est une ressource éducative précieuse pour les étudiants de première année inscrits dans des filières nécessitant une compréhension approfondie des concepts mathématiques. Cette formation offre un total de 7 heures et 26 minutes de contenu réparti sur plusieurs sessions thématiques qui s'entrelacent pour fournir une compréhension complète des mathématiques à ce niveau.
Étant une partie intégrante de la catégorie Éducation de base, sous la sous-catégorie Mathématiques, ce cours se distingue par son approche structurée et pédagogique des sujets fondamentaux. Il couvre une vaste variété de concepts clés, débutant par les inéquations, la valeur absolue, et l'inégalité triangulaire, avant de s'aventurer dans des notions plus complexes telles que les intervalles de sous-ensembles de R, les majorants et les minorants. Ces thèmes forment une base solide pour l'apprentissage des mathématiques universitaires.
L'enseignement poursuit avec des fondements logiques et propositionnels, y compris les propositions mathématiques, leurs équivalences, la négation, et les implications mathématiques. Ces concepts sont cruciaux pour comprendre la structure logique derrière les théorèmes et les preuves en mathématiques.
Les ensembles et leurs propriétés sont également explorés en détail, abordant des sujets tels que les sous-ensembles, les unions, les intersections, et le produit cartésien. La course souligne l'importance du cadre théorique des ensembles, incluant la non-existence de l'ensemble de tous les ensembles, tout en fournissant des outils pour travailler avec les quantificateurs et leurs négations.
Dans les sections suivantes, sont introduites les propriétés des fonctions réelles et les divers types d'applications, incluant l'application identité, bijection, et réciproque. L'analyse des limites des fonctions et la continuité y sont explorées, avec des sujets comme les limites classiques, la limite d'une somme et d'un produit de fonctions, et les implications de ces limites lors de changements de variable.
La dérivation est également un thème majeur, couvrant d'abord les bases avec des définitions essentielles et progressant vers des concepts avancés comme les dérivées à gauche et à droite, les extrema des fonctions réelles, et les développements limités. La section sur les développements limités explique la formule de Taylor Young, les troncatures, et la manipulation des développements limités pour la fonction inverse 1/(1-x).
Les intégrations et primitives sont expliquées avec des applications pratiques de concepts tels que la linéarité des intégrales, la relation de Chasles, et l'intégration par parties (IPP). Le cours introduit également des fonctions plus spécifiques comme l'arcsinus, et donne des éclairages sur les notions d'injection et de surjection.
Enfin, le cours aborde des éléments théoriques avancés tels que les preuves du théorème des valeurs intermédiaires (TVI) par la borne supérieure, renforçant ainsi la capacité des étudiants à aborder rigoureusement des problèmes mathématiques complexes.
En somme, ce cours offre une exploration exhaustive des mathématiques de première année universitaire, structuré de manière à faciliter la compréhension et l'application des principes mathématiques fondamentaux et avancés.
Contenu du cours
- Leçon vidéo : S1-2 Inéquation 07m
- Exercice: Quelle est la solution de l'inéquation suivante : 4x - 5 < 3(x + 2) ?
- Leçon vidéo : S1-3 : valeur absolue, inégalité triangulaire. 09m
- Exercice: Quelle est la définition de la valeur absolue d'un nombre réel x?
- Leçon vidéo : S1-4 Sous ensembles de R : Intervalles 08m
- Exercice: Considérons l'ensemble des réels tels que la valeur de x² est inférieure ou égale à 9. Quel est cet ensemble, sous forme d'intervalle?
- Leçon vidéo : S1-5 Majorant, minorant d'une partie de R 04m
- Exercice: Considérons un ensemble A inclus dans les réels. Quel est le critère pour que A soit un ensemble minoré?
- Leçon vidéo : S2-1 Propositions mathématiques (1) 07m
- Exercice: Dans une table de vérité avec les connecteurs logiques 'et' (AND) et 'ou' (OR), lequel des énoncés suivants décrit correctement le connecteur 'et'?
- Leçon vidéo : S2-2 : Propositions équivalentes 07m
- Exercice: Soit la proposition suivante : 'x^2 - 9 ≤ 0'. Quelle est l'équivalence correcte parmi les choix suivants?
- Leçon vidéo : S2-3 Ne?gation d'une proposition mathématique 03m
- Exercice: Quelle est la négation de la proposition "p ET q" (symboliquement: p ∧ q) ?
- Leçon vidéo : S2-4-Proposition-implication-1 09m
- Exercice: Considérons deux propositions P et Q. Laquelle des alternatives suivantes est vraie si la proposition 'P implique Q' est vraie ?
- Leçon vidéo : S2-5 Proposition réciproque - contraposée d'une implication 07m
- Exercice: Considérez deux propositions logiques P et Q. Quelle affirmation est vraie concernant la contraposée de l'implication 'P implique Q'?
- Leçon vidéo : S3-1 Sous ensemble, être élément, être inclus, ... 10m
- Exercice: Quel est le cardinal de l'ensemble des parties de l'ensemble \\({1, 2, 3}\\) ?
- Leçon vidéo : S3-2 L'ensemble de tous les ensembles n'existe pas !!!! 02m
- Exercice: Quel principe fondamental des mathématiques est mis en évidence lorsqu'on aborde le paradoxe de l'ensemble de tous les ensembles ?
- Leçon vidéo : S3-3-union et intersection d'ensembles 05m
- Exercice: Quels sont les éléments de l'intersection de deux ensembles A et B, noté A ∩ B?
- Leçon vidéo : S3-4- Produit carte?sien de deux ensembles 06m
- Exercice: Quelle est la propriété du produit cartésien de deux ensembles E et F si E est l'ensemble vide?
- Leçon vidéo : S3-6 Quantificateurs preuve ou hypothe?se 08m
- Exercice: Quelle méthode peut-on utiliser pour montrer qu'une proposition est vraie pour tous les éléments d'un ensemble donné ?
- Leçon vidéo : S3-7 Quantificateurs et ne?gation 06m
- Exercice: Quelle est la négation de la proposition : 'Pour tout x appartenant à un ensemble E, P(x) est vrai' ?
- Leçon vidéo : S4-2: Image reciproque d'une partie par une application 07m
- Exercice: Dans une application bijective, quelle est la propriété principale concernant l'image réciproque d'un élément ?
- Leçon vidéo : S4-3 Composition de deux applications 08m
- Exercice: Quelle affirmation est vraie concernant la composition de fonctions mathématiques?
- Leçon vidéo : S4-4 Application identité, bijection, réciproque 07m
- Exercice: Dans le contexte des fonctions générales, quelle est l'application d'identité pour un ensemble E?
- Leçon vidéo : S4-5 Définition de la somme et du produit de deux fonctions réelles 05m
- Exercice: Quand on considère des fonctions à valeurs réelles définies sur un ensemble de réels, que signifie l'expression '(f + g)(x)'?
- Leçon vidéo : S4-6 Définitions des propriétés courantes des fonctions 10m
- Exercice: Quelle est la caractéristique d'une fonction strictement croissante?
- Leçon vidéo : S4-7: Relation d'ordre sur les fonctions réelles 06m
- Exercice: Soit f et g deux fonctions définies sur un ensemble A. Quelle est la relation d'ordre inférieure ou égale entre ces deux fonctions?
- Leçon vidéo : S5-1 Introduction à la notion de limite des fonctions 09m
- Exercice: Qu'est-ce qu'une limite d'une fonction f(x) en un point a signifie ?
- Leçon vidéo : S5-2 Limites classiques 08m
- Exercice: Quelle est la limite de la fonction logarithme naturel (ln(x)) lorsque x tend vers l'infini?
- Leçon vidéo : S5-3-Limite d'une somme de deux fonctions 08m
- Exercice: Quelle est la limite de la somme de deux fonctions si la limite de la première fonction est +∞ et la limite de la seconde fonction est -∞?
- Leçon vidéo : S5-4 Limite du produit de fonctions 10m
- Exercice: Quelle est la valeur de la limite de la fonction f(x) = 1/x quand x tend vers zéro par des valeurs positives ?
- Leçon vidéo : S5-5 Limite de la composée de deux fonctions (changement de variable dans les limites) 13m
- Exercice: Quelle est la condition nécessaire pour que la limite d'une composition de fonctions existe ?
- Leçon vidéo : S5-6 Relation d'ordre et passage à la limite 05m
- Exercice: Soient les fonctions f(x) = x², g(x) = 2x² et h(x) = 3x². Selon le théorème de comparaison des limites, si x tend vers 0, quelle est la limite de la fonction g(x) ?
- Leçon vidéo : S5-7 - Analyse S1 : Notion de continuité 03m
- Exercice: Quelle est la définition de la continuité d'une fonction en un point?
- Leçon vidéo : S6-1 : Définition de la de?rive?e en un point d'une fonction réelle 11m
- Exercice: Quel est le coefficient directeur de la tangente à la courbe pour une fonction dérivable au point a?
- Leçon vidéo : S6-2 Développements limités d'ordre 1 11m
- Exercice: Quelle est la dérivée d'une fonction affine de la forme f(x) = mx + b, où m et b sont des constantes?
- Leçon vidéo : S6-3 : De?rive?e usuelles 16m
- Exercice: Quelle est la dérivée de la fonction f(x) = x^3 au point x = 2 ?
- Leçon vidéo : S6-4 : De?rive?e d'une somme et d'un produit de fonctions dérivables 07m
- Exercice: Quelle est la formule correcte pour la dérivée d'un produit de deux fonctions f(x) et g(x) ?
- Leçon vidéo : S6-5 : De?rive?e d'une compose?e de fonctions dérivables 10m
- Exercice: Si h(x) = sin(x^2), quelle est la dérivée de la fonction h(x) ?
- Leçon vidéo : S6-6 Dérivée à gauche, dérivée à droite 05m
- Exercice: Quelle condition doit être vérifiée pour qu'une fonction ait une dérivée en un point situé à l'extrémité de son intervalle de définition?
- Leçon vidéo : S7-2 : Extrema d'une fonction réelle 12m
- Exercice: Quelles sont les conditions nécessaires pour qu'une fonction ait un minimum local en un point a?
- Leçon vidéo : S7-3 : Asymptote 06m
- Exercice: Pour une fonction f(x), si la limite de (f(x) - mx - p) tend vers zéro lorsque x tend vers l'infini, quelle est la nature de la droite y = mx + p par rapport à la courbe de f(x) ?
- Leçon vidéo : S8-1 : Dérivée d'ordre supérieur à 1 07m
- Exercice: Considérez une fonction f définie sur un intervalle ouvert I en R. Si f est dérivable et que sa dérivée f' est elle-même dérivable, laquelle des affirmations suivantes est correcte concernant la dérivée seconde f''?
- Leçon vidéo : S8-2 : Développements limités (introduction) 12m
- Exercice: Quelle est la limite de la fonction f(x) = (e^x - cos(x) - x) / x^2 lorsque x tend vers 0?
- Leçon vidéo : S8-3 : Formule de Taylor Young 11m
- Exercice: Quelle est la formule de développement limité pour la fonction exponentielle e^x au voisinage de zéro?
- Leçon vidéo : S8-4 : Troncature des développements limités 08m
- Exercice: Considérons une fonction f(x) ayant le développement limité d'ordre 3 au voisinage de zéro donné par f(x) = 2 + 5x + 9x² + 14x³ avec un terme d'erreur tendant vers zéro. Quel est le développement limité d'ordre 2 de f(x) au voisinage de zéro?
- Leçon vidéo : S8-5 : Somme et produit de développements limités 12m
- Exercice: Si nous avons deux fonctions f(x) et g(x) avec des développements limités respectifs d'ordre n et m, quel est l'ordre du développement limité de leur produit f(x)g(x) ?
- Leçon vidéo : S8-6 développement limité de la fonction inverse 1/(1-x) 03m
- Exercice: Quelle est la formule pour calculer la somme S = x + x^2 + x^3 + ... + x^n dans le cas où x est différent de 1?
- Leçon vidéo : S9-1: Développements limitées d'une composée de fonctions 10m
- Exercice: Quel est le développement limité d'ordre 2 de la fonction h(x) = cos(x^2) en 0 ?
- Leçon vidéo : S9-2 : Exemples de calcul de limites en utilisant des développements limités 08m
- Leçon vidéo : S9-3: Applications des développements limités à l'étude des asymptotes 12m
- Exercice: Quelle est l'expression correcte pour définir la racine cubique d'un nombre x, notée racine cubique(x) ?
- Leçon vidéo : S10-1: Primitives 06m
- Exercice: Quelle est la primitive de la fonction g(x) = x^2 ?
- Leçon vidéo : S10-3 : Linéarité des intégrales, relation de Chasles 04m
- Exercice: Quelle propriété de l'intégration permet de simplifier l'expression de l'intégrale d'une somme de fonctions sur un intervalle?
- Leçon vidéo : S10-4 : Intégration par partie (IPP) 06m
- Exercice: Quelle est la technique d'intégration qui repose sur la formule de dérivation d'un produit, souvent utilisée pour calculer des primitives?
- Leçon vidéo : S10-5-Mytho 09m
- Exercice: Qu'est-ce que le théorème fondamental de l'analyse énonce à propos de l'intégrale d'une fonction continue sur un intervalle?
- Leçon vidéo : S11-1 : Changement de variable dans une intégrale 09m
- Exercice: Quelle est la formule de base pour le changement de variables dans une intégrale?
- Leçon vidéo : S11-4 : fonction arcsinus 06m
- Exercice: Quelle est la dérivée de la fonction arcsinus, notée arcsin(x) ?
- Leçon vidéo : S11-5 : définition d'injection et de surjection 04m
- Exercice: Quelle est la caractéristique principale d'une bijection entre deux ensembles?
- Leçon vidéo : S12.1 : Réciproque à gauche pour une bijection 11m
- Exercice: Quelle est la dérivée de la fonction arc tangente, notée arctan(x) ?
- Leçon vidéo : S3-1-2 L' ensemble de tous les ensembles n'existe pas (et pourquoi pas?) 02m
- Exercice: Considérons un ensemble 'A' qui est défini comme l'ensemble de tous les ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes comme élément. Si 'A' est un ensemble, que peut-on conclure?
- Leçon vidéo : Preuve du théorème des valeurs intermédiaires (TVI) à l’aide de la borne supérieure 06m
- Exercice: Laquelle des propositions suivantes décrit correctement le théorème des valeurs intermédiaires?
Ce cours gratuit comprend:
7 heure et 26 minutes du cours vidéo en ligne
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