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Cours en ligne gratuitMathématiques avancées

Durée du cours en ligne : 4 heure et 43 minutes

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Maîtrisez les séries entières et le rayon de convergence avec un cours en ligne gratuit, vidéos et exercices pour réussir en analyse et calculs scientifiques.

Dans ce cours gratuit, découvrez

  • Définition d’une série entière et ses usages en calcul scientifique
  • Notion de convergence et calcul du rayon de convergence (tests, formules)
  • Interprétation du rayon de convergence et comportement aux bornes
  • Propriétés analytiques : continuité, dérivation et intégration terme à terme
  • Application du lemme d’Abel aux séries entières (convergence au bord)
  • Somme et produit (Cauchy) de séries entières et leurs rayons de convergence
  • Lien entre séries entières et séries formelles : manipulations algébriques
  • Division de séries entières et calcul d’inverses (1/f) sous conditions
  • Composition de séries entières et conditions de validité
  • Développements en série entière : notion de développabilité près d’un point
  • Méthodes de calcul de développements (fractions rationnelles, identités usuelles)
  • Développement en série entière de exp(x) et fonctions usuelles associées
  • Calcul de la somme d’une série entière à partir des coefficients (ODE, reconnaissance)

Descriptif du cours

Renforcez vos bases en analyse avec Mathématiques avancées, un cours en ligne gratuit conçu pour vous faire gagner en rigueur et en autonomie sur un outil clé: les séries entières. Elles apparaissent partout, des approximations numériques aux modèles utilisés en sciences, et savoir les manipuler permet de comprendre plus vite, calculer plus efficacement et vérifier ses résultats avec méthode.

Le cours vous guide pas à pas pour saisir ce qu’est une série entière, à quoi elle sert, et surtout ce que signifie vraiment converger. Vous apprenez à déterminer et interpréter le rayon de convergence, puis à exploiter les propriétés analytiques qui rendent les séries entières si puissantes. En comprenant quand on peut additionner, multiplier, diviser ou composer des séries, vous développez des réflexes utiles pour transformer une expression difficile en un calcul abordable.

Une attention particulière est portée au lien entre théorie et pratique. Les méthodes présentées vous aident à obtenir les premiers termes d’un développement, à travailler autour d’un point, et à reconnaître ce qu’implique le fait qu’une fonction soit développable en série entière. Vous consolidez aussi des techniques de calcul essentielles, notamment sur des fonctions classiques comme l’exponentielle, et vous apprenez à remonter des coefficients vers la fonction somme lorsque c’est possible.

Grâce aux vidéos et exercices, vous progressez en structurant votre raisonnement: poser les hypothèses, choisir l’outil adapté, justifier chaque étape et interpréter le résultat. À la fin, vous serez mieux armé pour aborder l’analyse avec confiance, réussir vos examens, et appliquer ces idées dans des problèmes scientifiques ou d’ingénierie où les séries entières servent de langage de calcul.

Contenu du cours

  • Leçon vidéo : Séries entières : Qu'est-ce que c'est et à quoi ça sert ? #1 20m
  • Exercice: Que peut-on déduire de l'utilisation de séries entières dans les calculs scientifiques ?
  • Leçon vidéo : Séries entières : Qu'est-ce que c'est et à quoi ça sert ? #2 29m
  • Exercice: _Qu'est-ce qu'une série entière ?
  • Leçon vidéo : Rayon de convergence d'une série entière 33m
  • Exercice: _Qu'est-ce que le rayon de convergence d'une série entière ?
  • Leçon vidéo : Propriétés analytiques des séries entières 33m
  • Exercice: Qu'est-ce que l'application du Lemme d'Abel dans le contexte des séries entières ?
  • Leçon vidéo : Somme et produit de séries entières 21m
  • Exercice: _Quel est le rayon de convergence de la somme de deux séries entières f et g de rayons de convergence Rf et Rg respectivement ?
  • Leçon vidéo : Séries Formelles 35m
  • Exercice: Qu'est-ce qu'une série formelle dans le contexte des séries entières?
  • Leçon vidéo : Division et composition de séries entières 31m
  • Exercice: Quelle méthode permet d'obtenir les premiers termes d'un développement en série entière d'une fraction rationnelle?
  • Leçon vidéo : Développement en série entière 26m
  • Exercice: _Qu'est-ce que ça veut dire qu'une fonction est développable en série entière au voisinage d'un point ?
  • Leçon vidéo : Calcul de développement en série entière 26m
  • Exercice: Quel est le développement en série entière de la fonction exponentielle ?
  • Leçon vidéo : Calcul de sommes de séries entières 25m
  • Exercice: Quelle méthode permet de calculer la fonction somme d'une série entière lorsqu'on connaît les coefficients?

Ce cours gratuit comprend:

4 heure et 43 minutes du cours vidéo en ligne

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