50. Théorème des restes et des facteurs

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Le théorème du reste et le théorème des facteurs sont deux concepts fondamentaux en mathématiques qui sont souvent requis dans le test Enem. Connaître et comprendre ces théorèmes peut faire la différence entre résoudre une question correctement ou non.

Le Théorème du reste est un théorème qui permet de trouver le reste d'une division d'un polynôme P(x) par un binôme de la forme x - a. D'après le théorème, le reste de cette division est égal à la valeur du polynôme P(a). Autrement dit, si nous voulons trouver le reste de la division d'un polynôme P(x) par x - a, remplacez simplement x par a dans le polynôme. Par exemple, si l'on veut trouver le reste de la division du polynôme P(x) = x³ - 2x² + x - 3 par x - 1, il suffit de remplacer x par 1 dans le polynôme P(x), soit P (1) = 1³ - 2*1² + 1 - 3 = -3. Le reste de la division est donc -3.

Le théorème des facteurs, d'autre part, nous dit que si un polynôme P(x) a une racine a, alors x - a est un facteur du polynôme. Cela signifie que si nous substituons x à a dans le polynôme et que le résultat est zéro, alors x - a est un facteur du polynôme. Par exemple, si nous avons le polynôme P(x) = x³ - 2x² + x - 3 et trouvons que P(1) = 0, alors x - 1 est un facteur du polynôme. Nous pouvons le confirmer en effectuant la division du polynôme P(x) par x - 1. Si le reste de la division est nul, alors x - 1 est bien un facteur du polynôme.

Ces deux théorèmes sont étroitement liés et sont très utiles pour résoudre des problèmes impliquant des polynômes. Ils nous permettent de trouver les facteurs et les racines d'un polynôme, ce qui est essentiel pour résoudre les équations polynomiales.

Dans l'examen ENEM, les questions impliquant le théorème du reste et le théorème des facteurs impliquent généralement la résolution d'équations polynomiales ou la factorisation de polynômes. Ces questions peuvent sembler complexes à première vue, mais avec une compréhension de ces théorèmes, elles deviennent beaucoup plus gérables.

Par exemple, une question peut demander de trouver les racines d'un polynôme du troisième degré. En utilisant le théorème des facteurs, nous pouvons commencer par deviner une racine du polynôme, puis utiliser cette racine pour trouver un facteur du polynôme. Une fois que nous avons trouvé un facteur, nous pouvons diviser le polynôme par ce facteur pour obtenir un polynôme de degré inférieur. On peut alors répéter le processus pour trouver les autres racines du polynôme.

En résumé, le théorème des restes et le théorème des facteurs sont des outils mathématiques puissants qui nous permettent de résoudre efficacement des problèmes complexes. Ils sont fondamentaux pour comprendre les polynômes et sont souvent requis dans le test Enem. Il est donc essentiel que les étudiants comprennent et sachent appliquer ces théorèmes.

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