42. Séquences et séries géométriques
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La séquence et les séries géométriques sont des concepts fondamentaux en mathématiques et sont souvent requises dans le test ENEM. Comprendre ces concepts peut aider les élèves à résoudre une variété de problèmes, depuis de simples questions de mathématiques jusqu'à des problèmes complexes de physique et d'ingénierie.
Une séquence géométrique est une séquence de nombres où chaque terme après le premier est trouvé en multipliant le terme précédent par une constante fixe, appelée rapport. Le rapport peut être n’importe quel nombre réel. La séquence 2, 4, 8, 16, 32 est un exemple de séquence géométrique où le rapport est 2.
Pour trouver le nième terme d'une séquence géométrique, nous utilisons la formule a_n = a_1 * r^(n-1), où a_n est le nième terme, a_1 est le premier terme, r est le rapport et n est la position du terme dans la séquence.
Par exemple, pour trouver le 5ème terme de la suite géométrique 2, 4, 8, 16, 32, nous remplaçons a_1 par 2, r par 2 et n par 5 dans la formule pour obtenir a_5 = 2 * 2^ (5-1) = 2 * 16 = 32, qui est le 5ème terme de la suite.
Une série géométrique est la somme des termes d'une séquence géométrique. Par exemple, la série 2 + 4 + 8 + 16 + 32 est une série géométrique dont le rapport est 2.
Pour trouver la somme des n premiers termes d'une série géométrique, nous utilisons la formule S_n = a_1 * (1 - r^n) / (1 - r), où S_n est la somme des n premiers termes, a_1 est le premier terme, r est le rapport et n est le nombre de termes.
Par exemple, pour trouver la somme des 5 premiers termes de la série géométrique 2 + 4 + 8 + 16 + 32, nous substituons a_1 par 2, r par 2 et n par 5 dans la formule pour obtenir S_5 = 2 * (1 - 2 ^5) / (1 - 2) = 2 * (-31) / (-1) = 62, qui est la somme des 5 premiers termes de la série.
Il est important de noter que la formule de la somme des n premiers termes d'une série géométrique n'est valable que si le rapport r est différent de 1. Si le rapport est 1, la série est une série constante et la somme des n premiers termes est simplement n fois le premier terme.
De plus, si le rapport est supérieur à 1 ou inférieur à -1, la série géométrique est une série divergente, ce qui signifie que la somme des termes tend vers l'infini comme n tend vers l'infini. Si le rapport est compris entre -1 et 1, la série géométrique est une série convergente, ce qui signifie que la somme des termes tend vers un nombre fixe lorsque n tend vers l'infini.
En résumé, les séquences et séries géométriques sont des concepts mathématiques importants qui sont souvent requis dans le test ENEM. Comprendre ces concepts peut aider les élèves à résoudre divers problèmes et à réussir le test.
Répondez maintenant à l’exercice sur le contenu :
Qu'arrive-t-il à la somme des termes d'une série géométrique lorsque le rapport r est supérieur à 1 ou inférieur à -1 ?
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