23. Nombres premiers et théorème fondamental de l'arithmétique

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Les Nombres premiers sont l'un des concepts fondamentaux des mathématiques. Un nombre premier est un nombre naturel supérieur à 1 qui n'a que deux diviseurs naturels distincts : lui-même et 1. En d'autres termes, un nombre est premier s'il ne peut être formé en multipliant ensemble deux nombres plus petits. Les premiers nombres premiers sont 2, 3, 5, 7, 11, etc. Le nombre 1 n'est pas considéré comme un nombre premier car il n'a qu'un seul diviseur.

L'importance des nombres premiers en mathématiques ne peut être surestimée. Ce sont les « éléments constitutifs » des nombres naturels, et grâce au Théorème fondamental de l'arithmétique, nous savons que tout nombre naturel supérieur à 1 peut être écrit comme un produit de nombres premiers, et cette représentation est unique, à l'exception de l'ordre des facteurs premiers. C'est un fait puissant et surprenant qui nous permet de décomposer n'importe quel nombre en ses « parties premières ».

Par exemple, le nombre 315 peut être décomposé en nombres premiers comme 3*3*5*7. Aucun autre ensemble de nombres premiers multipliés ne donnera 315, c'est donc la seule façon de diviser 315 en nombres premiers.

Pour trouver les facteurs premiers d'un nombre, nous commençons par diviser le nombre par le plus petit nombre premier, qui est 2. Si le nombre est divisible par 2, alors 2 est un facteur premier. On continue à diviser le nombre par 2 jusqu'à ce qu'il ne soit plus divisible. Ensuite, nous passons au nombre premier suivant, qui est 3, et répétons le processus. Nous continuons ainsi jusqu'à ce que le nombre restant soit un nombre premier.

La capacité de décomposer des nombres en facteurs premiers est utile dans de nombreux domaines des mathématiques, notamment la résolution d'équations diophantiennes, la cryptographie à clé publique et la théorie des nombres.

Le théorème fondamental de l'arithmétique a été prouvé pour la première fois par Euclide il y a plus de deux millénaires. Il stipule que chaque entier a une décomposition unique en facteurs premiers. Cela signifie que même s'il peut exister de nombreuses façons différentes de décomposer un nombre en facteurs, une seule de ces décompositions sera entièrement composée de nombres premiers, et cette décomposition sera la même quelle que soit la manière dont vous la trouvez.

Par exemple, le nombre 24 peut être factorisé de plusieurs manières : 1*24, 2*12, 3*8, 4*6. Cependant, une seule de ces décompositions est la factorisation première : 2*2*2*3. Quelle que soit la façon dont vous factorisez 24, vous arriverez toujours à la même factorisation première.

En bref, les nombres premiers sont les éléments constitutifs des nombres naturels. Ils sont fondamentaux pour notre compréhension des nombres et ont de nombreuses applications pratiques. Le théorème fondamental de l'arithmétique, qui stipule que chaque nombre a une décomposition unique en facteurs premiers, est l'une des vérités les plus profondes et les plus importantes en mathématiques.

Pour le test ENEM, il est important de se familiariser avec les notions de nombres premiers et de décomposition en facteurs premiers. Les questions sur ces sujets sont courantes et peuvent être résolues rapidement si vous comprenez bien ces concepts.

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