56. Fonctions injectives, surjectives et bijectives
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Les fonctions injectives, surjectives et bijectives sont des concepts fondamentaux en mathématiques et sont fréquemment abordées dans les questions ENEM. Pour comprendre ces fonctions, il est important de d'abord comprendre ce qu'est une fonction.
Une fonction est une relation entre deux ensembles, dans laquelle chaque élément du premier ensemble (domaine) correspond à un seul élément du deuxième ensemble (codomaine). Cela dit, comprenons chacune des fonctions.
Fonctions de l'injecteur
Une fonction f est dite injective (ou injective) si et seulement si différents éléments du domaine ont des plages différentes dans la plage. En d’autres termes, deux valeurs différentes dans le domaine ne correspondent pas à la même valeur dans la plage. Mathématiquement, cela s'exprime comme suit : si x1 ≠ x2, alors f(x1) ≠ f(x2).
Par exemple, la fonction f(x) = 2x + 3 est une fonction biunivoque. Si vous prenez deux valeurs différentes de x, disons 1 et 2, vous obtiendrez deux valeurs différentes de f(x), qui sont respectivement 5 et 7.
Fonctions surjectives
Une fonction f est dite surjective (ou surjective) si et seulement si chaque élément de la plage est une image d'au moins un élément du domaine. En d'autres termes, il n'y a aucune valeur dans la plage qui ne corresponde à aucune valeur du domaine. Mathématiquement, cela s'exprime comme suit : pour chaque y dans la plage, il existe un x dans le domaine tel que f(x) = y.
Par exemple, la fonction f(x) = x² est une fonction surjective si l'on considère le domaine et l'étendue comme les ensembles de tous les nombres réels. Chaque nombre réel est le carré d'un autre nombre réel.
Fonctions de bijection
Une fonction f est dite bi-univoque (ou bi-un) si et seulement si elle est à la fois bi-un et bi-un. En d’autres termes, chaque élément du domaine correspond à un seul élément du co-domaine, et vice versa. Mathématiquement, cela s'exprime comme suit : si x1 ≠ x2, alors f(x1) ≠ f(x2) et pour chaque y dans la plage, il y a un x dans le domaine tel que f(x) = y.
Par exemple, la fonction f(x) = 2x + 3 est une fonction bijective si l'on considère le domaine et l'étendue comme les ensembles de tous les nombres réels. Chaque nombre réel est le résultat de 2x + 3 pour un nombre réel x, et deux nombres réels différents ne donnent pas la même valeur de f(x).
Comprendre les fonctions un-à-un, un-à-un et un-à-un est crucial pour résoudre de nombreux problèmes mathématiques. Ces concepts sont fondamentaux pour l’étude des fonctions, qui constitue une partie importante du programme de mathématiques de l’ENEM. J'espère que ce texte a contribué à clarifier ces concepts.
Répondez maintenant à l’exercice sur le contenu :
Lequel des énoncés suivants décrit correctement une fonction bijective ?
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5757. Etude des signes d'une fonction
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