Ejercicios
Este cuestionario explora conceptos fundamentales de los grafos no dirigidos. Las preguntas evalúan el grado de los vértices, el lema del apretón de manos, la conectividad, los recorridos eulerianos, las propiedades de los árboles, los grafos completos y bipartitos, la planaridad y los árboles de expansión mínima. Incluye ejercicios conceptuales, cálculos e interpretación de diagramas.
Responde las preguntas a continuación y revisa la explicación de cada respuesta.
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El grado de un vértice es el número de aristas que inciden en él. En un grafo simple, también coincide con la cantidad de vértices vecinos.
El vértice A está conectado con B, C y D. Por tanto, tiene tres aristas incidentes y su grado es 3.
Por el lema del apretón de manos, la suma de los grados es el doble del número de aristas. Así, 2 × 9 = 18.
Los vértices A, B y C forman un componente, mientras que D y E forman otro. Como no existe una arista entre ambos grupos, hay 2 componentes conexos.
Un grafo no dirigido conexo posee un circuito euleriano si y solo si todos sus vértices tienen grado par.
A y C tienen grado 3, mientras que B y D tienen grado 2. Al haber exactamente dos vértices de grado impar, existe un camino euleriano abierto, pero no un circuito.
Todo árbol con n vértices tiene exactamente n − 1 aristas. Para 12 vértices, el número de aristas es 12 − 1 = 11.
En un árbol ya existe un camino único entre cualquier par de vértices. La nueva arista, junto con ese camino, forma exactamente un ciclo.
El diagrama II es conexo y no contiene ciclos, por lo que es un árbol. El I contiene un ciclo y el III no es conexo.
En un árbol existe un único camino simple entre cada par de vértices. Si hubiera dos, su combinación produciría un ciclo.
Un grafo completo con n vértices tiene n(n − 1)/2 aristas. Para K6, el cálculo es 6 × 5 / 2 = 15.
Un grafo es bipartito si y solo si no contiene ciclos de longitud impar. Los ciclos pares sí son compatibles con una partición en dos conjuntos.
El grafo es un ciclo de cinco vértices. Al ser un ciclo impar, no es bipartito y requiere al menos tres colores para colorear vértices adyacentes de forma distinta.
La fórmula de Euler para grafos planares conexos es V − E + F = 2. Entonces, F = 2 − 8 + 12 = 6 regiones.
Aplicando el criterio de menor peso sin formar ciclos, se eligen AB con peso 1, CD con peso 2 y BC con peso 3. El peso total mínimo es 6.
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