Le théorème de Weierstrass, également connu sous le nom de théorème des valeurs extrêmes, est un concept fondamental en mathématiques, en particulier dans l'analyse réelle et l'analyse de fonctions réelles. Ce théorème porte le nom de Karl Weierstrass, un mathématicien allemand du XIXe siècle qui a contribué de manière significative à la théorie des fonctions analytiques et à la théorie des nombres.
Le théorème de Weierstrass stipule que si une fonction est continue sur un intervalle fermé et borné, alors cette fonction doit avoir un minimum et un maximum sur cet intervalle. En d’autres termes, la fonction atteint ses valeurs les plus élevées et les plus basses quelque part dans la plage. Ce théorème est l'une des pierres angulaires du calcul et a des applications dans de nombreux domaines des mathématiques, notamment l'analyse, l'optimisation et la géométrie.
La preuve du théorème de Weierstrass est un excellent exemple de la façon dont les concepts de continuité et de limitation peuvent être utilisés pour prouver des résultats importants. La preuve commence en supposant que nous avons une fonction continue f sur un intervalle fermé [a, b]. Puisque l'intervalle est fermé et délimité, on peut choisir une séquence de points x_n dans l'intervalle telle que la séquence de valeurs f(x_n) soit une séquence de Cauchy. Puisque les séquences de Cauchy sont bornées, la séquence f(x_n) est également bornée.
Ensuite, nous utilisons la continuité de f pour montrer que la séquence f(x_n) a une limite sur l'intervalle [a, b]. Plus précisément, puisque f est continue, la limite de f(x_n) lorsque n tend vers l'infini doit être égale à f de la limite de x_n lorsque n tend vers l'infini. Puisque x_n est une séquence dans l'intervalle [a, b], sa limite doit également être dans l'intervalle [a, b]. Par conséquent, la limite de f(x_n) est dans l'intervalle [a, b].
Enfin, nous montrons que cette limite est bien le minimum et le maximum de la fonction sur l'intervalle. Pour ce faire, on considère tout autre point y dans l'intervalle [a, b]. Puisque f est continue, la fonction f doit être proche de f(y) pour x proche de y. Mais puisque la limite de f(x_n) est le minimum et le maximum de la fonction, f(y) doit être supérieur ou égal au minimum et inférieur ou égal au maximum. Par conséquent, le minimum et le maximum de la fonction sont bien atteints dans l'intervalle.
En résumé, le théorème de Weierstrass est un outil puissant en mathématiques qui permet de trouver les valeurs extrêmes d'une fonction continue sur un intervalle fermé et borné. Ce théorème est fondamental dans de nombreux domaines des mathématiques et constitue une partie essentielle de tout véritable cours d’analyse ou de calcul. Pour les étudiants se préparant à l'ENEM, comprendre ce théorème et comment il peut être appliqué est crucial pour résoudre des problèmes mathématiques complexes.
Enfin, même si le théorème de Weierstrass peut sembler intimidant à première vue, la preuve du théorème est en réalité une belle démonstration de l'interaction entre continuité, limitation et séquences. Avec de la pratique et de l'étude, tout étudiant en mathématiques peut apprendre à comprendre et à appliquer cet important théorème.
