12. Systèmes linéaires
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Les systèmes linéaires sont un ensemble d'équations résolues simultanément. Dans le cadre des mathématiques de l'examen ENEM, il est important de comprendre comment résoudre ces systèmes pour faire face à des problèmes pratiques et théoriques.
Un système linéaire peut être représenté par Ax = b, où A est la matrice de coefficients, x est le vecteur de variables et b est le vecteur de constantes. L'objectif est de trouver le vecteur x qui satisfait toutes les équations du système. Il existe plusieurs méthodes pour résoudre des systèmes linéaires, notamment la substitution, l'élimination, la règle de Cramer et l'inverse matriciel.
La méthode de remplacement est généralement la plus simple. Vous commencez par résoudre l’une des équations d’une variable, puis vous branchez cette expression dans l’autre équation. Cela aboutit à une nouvelle équation avec une seule variable, qui peut être résolue facilement. La solution pour l'autre variable est ensuite trouvée en remplaçant la première solution dans l'équation d'origine.
La méthode d'élimination, quant à elle, consiste à ajouter ou à soustraire les équations pour éliminer l'une des variables. Cela aboutit également à une nouvelle équation avec une seule variable. La solution pour l'autre variable est ensuite trouvée en remplaçant la première solution dans l'équation d'origine.
La règle de Cramer est une méthode plus avancée qui utilise les déterminants des matrices. Pour un système de n équations à n variables, le déterminant de la matrice des coefficients est calculé. Ensuite, pour chaque variable, la colonne correspondante dans la matrice de coefficients est remplacée par le vecteur de constantes et le déterminant de cette nouvelle matrice est calculé. La solution pour chaque variable est alors le quotient du déterminant de la matrice modifiée par le déterminant de la matrice d'origine.
La matrice inverse est une méthode encore plus avancée qui ne peut être utilisée que lorsque la matrice des coefficients est inversible. Dans ce cas, la matrice inverse est multipliée par le vecteur de constantes pour trouver la solution du vecteur de variables.
Il est important de noter que tous les systèmes linéaires n'ont pas de solution. Si le déterminant de la matrice des coefficients est nul, alors le système est dit incohérent et n'a pas de solution. Si le système a plus de variables que d'équations, alors il a une infinité de solutions.
Dans le test ENEM, les systèmes linéaires peuvent apparaître dans divers contextes, depuis les problèmes de géométrie jusqu'aux problèmes économiques. Par conséquent, il est important d'être à l'aise avec toutes les méthodes de résolution et de comprendre quand les utiliser.
De plus, il est utile de savoir interpréter la solution d'un système linéaire. Par exemple, dans un problème de géométrie, les solutions peuvent représenter des points d’intersection de lignes ou de plans. Dans un problème économique, les solutions peuvent représenter des quantités de biens ou de services.
En résumé, les systèmes linéaires sont un outil important en mathématiques qui peut être utilisé pour résoudre un large éventail de problèmes. La maîtrise de cette compétence peut être très utile pour l'examen ENEM et pour d'autres applications pratiques et théoriques des mathématiques.
Répondez maintenant à l’exercice sur le contenu :
Laquelle des méthodes suivantes est utilisée pour résoudre des systèmes linéaires et implique l’utilisation de déterminants de matrices ?
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