54. Opérations avec des radicaux
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Les opérations avec les radicaux sont l'un des sujets fondamentaux en mathématiques fréquemment abordés lors des examens Enem. Les radicaux sont des expressions mathématiques impliquant l’opération racine. Comprendre comment manipuler et opérer avec ces radicaux est crucial pour résoudre une variété de problèmes mathématiques.
Tout d’abord, il est important de comprendre ce qu’est un radical. Un radical est une expression de la forme n√a, où n est l'indice du radical et a est la radicande. L'index indique quelle racine nous considérons (par exemple racine carrée, racine cubique, etc.), tandis que le radicande est le nombre ou l'expression sous le radical.
Les opérations de base avec les radicaux incluent l'addition, la soustraction, la multiplication et la division. Pour ajouter ou soustraire des radicaux, il faut qu'ils soient « similaires », c'est-à-dire qu'ils doivent avoir le même indice et la même radicande. Par exemple, √3 + 2√3 = 3√3. Notez que cela revient à ajouter des variables algébriques, comme x + 2x = 3x.
La multiplication et la division radicales sont un peu plus complexes, mais suivent des règles similaires. Pour multiplier des radicaux, vous multipliez les radicandes et conservez le même indice. Par exemple, √2 * √3 = √6. Pour diviser les radicaux, on divise les radicandes et on garde le même indice. Par exemple, √8 / √2 = √4 = 2.
De plus, certaines propriétés importantes des radicaux peuvent être utiles pour simplifier les expressions. La première est la propriété du produit : n√(ab) = n√a * n√b. Cela signifie que la racine d’un produit est égale au produit des racines. La seconde est la propriété du quotient : n√(a/b) = n√a / n√b. Cela signifie que la racine d'un quotient est égale au quotient des racines.
Il existe également des règles pour gérer les pouvoirs sous un radical. Si vous avez un nombre élevé à une puissance sous un radical, vous pouvez déplacer la puissance hors du radical en la multipliant par l'indice. Par exemple, √(a^2) = a. C'est ce qu'on appelle la propriété de puissance radicale.
Enfin, il est important de comprendre comment rationaliser le dénominateur lorsque le dénominateur d'une fraction contient un radical. Cela se fait en multipliant le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur. Le conjugué d'un nombre est le nombre dont le signe du terme radical est inversé. Par exemple, le conjugué de a + √b est a - √b.
En résumé, les opérations avec les radicaux sont une partie cruciale des mathématiques qui sont souvent testées à l'ENEM. Comprendre comment additionner, soustraire, multiplier et diviser des radicaux, ainsi que comment simplifier des expressions avec des radicaux, peut considérablement aider à résoudre des problèmes mathématiques.
Il est important de mettre en pratique ces compétences régulièrement, car la familiarité avec les opérations radicales est essentielle pour résoudre efficacement les problèmes. Avec le temps et la pratique, opérer avec des radicaux deviendra une seconde nature, vous permettant de vous concentrer sur la compréhension et la résolution du problème plutôt que de vous débattre avec les mathématiques sous-jacentes.
Répondez maintenant à l’exercice sur le contenu :
Quelles sont les opérations de base qui peuvent être réalisées avec les radicaux et quelles sont les conditions pour les réaliser ?
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