67. Teorema de Weierstrass

El Teorema de Weierstrass, también conocido como Teorema del Valor Extremo, es un concepto fundamental en matemáticas, particularmente en el análisis real y el análisis de funciones reales. Este teorema lleva el nombre de Karl Weierstrass, un matemático alemán del siglo XIX que contribuyó significativamente a la teoría de funciones analíticas y la teoría de números.

El teorema de Weierstrass establece que si una función es continua en un intervalo cerrado y acotado, entonces esa función debe tener un mínimo y un máximo en ese intervalo. En otras palabras, la función alcanza sus valores más alto y más bajo en algún lugar del rango. Este teorema es una de las piedras angulares del cálculo y tiene aplicaciones en muchas áreas de las matemáticas, incluido el análisis, la optimización y la geometría.

La demostración del teorema de Weierstrass es un excelente ejemplo de cómo los conceptos de continuidad y limitación se pueden utilizar para demostrar resultados importantes. La demostración comienza suponiendo que tenemos una función continua f en un intervalo cerrado [a, b]. Dado que el intervalo es cerrado y acotado, podemos elegir una secuencia de puntos x_n en el intervalo tal que la secuencia de valores f(x_n) sea una secuencia de Cauchy. Dado que las secuencias de Cauchy están acotadas, la secuencia f(x_n) también está acotada.

A continuación, usamos la continuidad de f para mostrar que la secuencia f(x_n) tiene un límite en el intervalo [a, b]. Específicamente, dado que f es continua, el límite de f(x_n) cuando n se acerca al infinito debe ser igual al f del límite de x_n cuando n se acerca al infinito. Dado que x_n es una secuencia en el intervalo [a, b], su límite también debe estar en el intervalo [a, b]. Por tanto, el límite de f(x_n) está en el intervalo [a, b].

Finalmente, mostramos que este límite es de hecho el mínimo y el máximo de la función en el intervalo. Para ello, consideramos cualquier otro punto y en el intervalo [a, b]. Dado que f es continua, la función f debe estar cerca de f(y) para x cerca de y. Pero como el límite de f(x_n) es el mínimo y el máximo de la función, f(y) debe ser mayor o igual al mínimo y menor o igual al máximo. Por lo tanto, el mínimo y el máximo de la función efectivamente se alcanzan en el intervalo.

En resumen, el Teorema de Weierstrass es una poderosa herramienta en matemáticas que nos permite encontrar los valores extremos de una función continua en un intervalo cerrado y acotado. Este teorema es fundamental para muchas áreas de las matemáticas y es una parte esencial de cualquier curso de análisis o cálculo real. Para los estudiantes que se preparan para el ENEM, comprender este teorema y cómo se puede aplicar es crucial para resolver problemas matemáticos complejos.

Finalmente, aunque el teorema de Weierstrass puede parecer intimidante a primera vista, la demostración del teorema es en realidad una hermosa demostración de la interacción entre continuidad, limitación y secuencias. Con práctica y estudio, cualquier estudiante de matemáticas puede aprender a comprender y aplicar este importante teorema.

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