42. Secuencias y series geométricas.
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La secuencia y la serie geométrica son conceptos fundamentales en matemáticas y a menudo se requieren en la prueba ENEM. Comprender estos conceptos puede ayudar a los estudiantes a resolver una variedad de problemas, desde simples preguntas de matemáticas hasta complejos problemas de física e ingeniería.
Una secuencia geométrica es una secuencia de números donde cada término después del primero se encuentra multiplicando el término anterior por una constante fija, llamada razón. La razón puede ser cualquier número real. La secuencia 2, 4, 8, 16, 32 es un ejemplo de secuencia geométrica donde la razón es 2.
Para encontrar el enésimo término de una secuencia geométrica, usamos la fórmula a_n = a_1 * r^(n-1), donde a_n es el enésimo término, a_1 es el primer término, r es la razón y n es la posición del término en la secuencia.
Por ejemplo, para encontrar el quinto término de la secuencia geométrica 2, 4, 8, 16, 32, sustituimos a_1 por 2, r por 2 y n por 5 en la fórmula para obtener a_5 = 2 * 2^ (5-1) = 2 * 16 = 32, que es el quinto término de la secuencia.
Una serie geométrica es la suma de los términos de una secuencia geométrica. Por ejemplo, la serie 2 + 4 + 8 + 16 + 32 es una serie geométrica donde la razón es 2.
Para encontrar la suma de los primeros n términos de una serie geométrica, usamos la fórmula S_n = a_1 * (1 - r^n) / (1 - r), donde S_n es la suma de los primeros n términos, a_1 es el primer término, r es la razón y n es el número de términos.
Por ejemplo, para encontrar la suma de los primeros 5 términos de la serie geométrica 2 + 4 + 8 + 16 + 32, sustituimos a_1 por 2, r por 2 y n por 5 en la fórmula para obtener S_5 = 2 * (1 - 2 ^5) / (1 - 2) = 2 * (-31) / (-1) = 62, que es la suma de los primeros 5 términos de la serie.
Es importante señalar que la fórmula para la suma de los primeros n términos de una serie geométrica sólo es válida si la razón r es diferente de 1. Si la razón es 1, la serie es una serie constante y la suma de los primeros n términos es simplemente n veces el primer término.
Además, si la relación es mayor que 1 o menor que -1, la serie geométrica es una serie divergente, lo que significa que la suma de los términos tiende al infinito cuando n tiende al infinito. Si la relación está entre -1 y 1, la serie geométrica es una serie convergente, lo que significa que la suma de los términos tiende a un número fijo cuando n tiende al infinito.
En resumen, las secuencias y series geométricas son conceptos matemáticos importantes que a menudo se requieren en la prueba ENEM. Comprender estos conceptos puede ayudar a los estudiantes a resolver una variedad de problemas y obtener buenos resultados en el examen.
Ahora responde el ejercicio sobre el contenido:
¿Qué sucede con la suma de los términos de una serie geométrica cuando la razón r es mayor que 1 o menor que -1?
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