18. Progresiones aritméticas y geométricas
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Las progresiones aritméticas y geométricas son temas fundamentales en el estudio de las matemáticas y, a menudo, se requieren en el examen Enem. Son secuencias de números que siguen reglas específicas y predecibles, lo que las convierte en una herramienta útil para resolver una variedad de problemas matemáticos.
En una Progresión Aritmética (AP), cada término (excepto el primero) es la suma del término anterior con una constante, llamada razón. Por ejemplo, en una secuencia 2, 4, 6, 8, cada término es 2 más que el término anterior, por lo que la razón es 2. La fórmula general para el enésimo término de un AP es a1 + (n-1)*r , donde a1 es el primer término, r es la razón y n es el número del término que queremos encontrar.
Para entender mejor, consideremos un AP donde el primer término es 3 y la razón es 5. Si queremos encontrar el cuarto término, sustituimos en la fórmula: 3 + (4-1)*5 = 3 + 15 = 18. Entonces el cuarto término es 18.
La suma de los primeros n términos de un AP también se puede calcular mediante la fórmula S = n/2 * (a1 + an), donde S es la suma, n es el número de términos, a1 es el primer término y an es el enésimo término. Si en el ejemplo anterior quisiéramos sumar los primeros 4 términos, tendríamos S = 4/2 * (3 + 18) = 2 * 21 = 42.
En una Progresión Geométrica (GP), cada término (excepto el primero) es el producto del término anterior por una constante, llamada razón. Por ejemplo, en una secuencia 2, 4, 8, 16, cada término es 2 veces el término anterior, por lo que la razón es 2. La fórmula general para el enésimo término de un GP es a1 * r^(n-1), donde a1 es el primer término, r es la razón y n es el número del término que queremos encontrar.
Considerando un GP donde el primer término es 2 y la razón es 3. Si queremos encontrar el cuarto término, sustituimos en la fórmula: 2 * 3^(4-1) = 2 * 27 = 54. Por lo tanto , el cuarto término es 54.
La suma de los primeros n términos de un GP se puede calcular mediante la fórmula S = a1 * (1 - r^n) / (1 - r) si la relación es diferente de 1. En el ejemplo anterior, si Si queremos sumar los primeros 4 términos, tendríamos S = 2 * (1 - 3^4) / (1 - 3) = 2 * (-80) / -2 = 80.
Es importante tener en cuenta que las progresiones aritméticas y geométricas son solo dos tipos de secuencias numéricas. Hay muchos otros tipos, pero estos son los más comunes y a menudo se encuentran en una variedad de contextos, desde problemas matemáticos puros hasta aplicaciones prácticas en ciencias físicas y economía.
Finalmente, es fundamental practicar la resolución de problemas que involucran AP y PG para familiarizarse con sus propiedades y poder aplicarlas de manera efectiva en la prueba Enem. Recuerde, las matemáticas son una materia que requiere práctica continua para perfeccionar sus habilidades y desarrollar su intuición.
Ahora responde el ejercicio sobre el contenido:
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta sobre las progresiones aritméticas (AP) y las progresiones geométricas (PG)?
¡Tienes razón! Felicitaciones, ahora pasa a la página siguiente.
¡Tú error! Inténtalo de nuevo.
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