3. Números complejos

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Los números complejos son una extensión del conjunto de números reales y son muy importantes para las matemáticas y sus aplicaciones, incluidas la física y la ingeniería. A menudo se utilizan en preguntas de la escuela secundaria y ENEM, por lo que comprender este tema es crucial para obtener un buen desempeño en el examen.

Un número complejo es un número de la forma a + bi, donde a y b son números reales e i es la unidad imaginaria, que tiene la propiedad de que i² = -1. La parte a se llama parte real del número complejo y la parte bi se llama parte imaginaria. Por ejemplo, si tenemos el número complejo 3 + 4i, entonces 3 es la parte real y 4 es la parte imaginaria.

Los números complejos se pueden representar gráficamente en el plano complejo, que es similar al plano cartesiano que utilizamos para representar números reales. La diferencia es que el eje x representa la parte real del número complejo y el eje y representa la parte imaginaria. Por tanto, el número complejo a + bi se representa como un punto del plano cuyas coordenadas son (a, b).

Hay varias operaciones que podemos realizar con números complejos, incluidas suma, resta, multiplicación y división. La suma y la resta se realizan sumando o restando respectivamente las partes reales y las partes imaginarias. Por ejemplo, si tenemos los números complejos z1 = a + bi y z2 = c + di, entonces z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i y z1 - z2 = (a - c) + ( b - d)i.

La multiplicación es un poco más complicada, pero sigue siendo bastante sencilla. Si tenemos los números complejos z1 = a + bi y z2 = c + di, entonces z1 * z2 = (ac - bd) + (ad + bc)i. Tenga en cuenta que el producto de dos números complejos es otro número complejo.

Dividir números complejos es un poco más complicado, pero también es posible. Si tenemos los números complejos z1 = a + bi y z2 = c + di, entonces z1 / z2 = (ac + bd) / (c² + d²) + (bc - ad) / (c² + d²)i. Tenga en cuenta que el denominador es siempre un número real, por lo que el resultado es un número complejo.

Los números complejos también tienen un concepto de módulo y argumento, que son análogos a la magnitud y el ángulo de un vector en el plano. El módulo de un número complejo z = a + bi viene dado por |z| = sqrt(a² + b²), que es la distancia desde el punto que representa z hasta el origen en el plano complejo. El argumento de z es el ángulo que forma la recta que va del punto al origen con el eje x positivo, medido en sentido antihorario.

Los números complejos también tienen un concepto de conjugado, que se obtiene cambiando el signo de la parte imaginaria. El conjugado de un número complejo z = a + bi se denota por z̅ y viene dado por z̅ = a - bi. El conjugado tiene la propiedad de que z * z̅ = |z|².

En resumen, los números complejos son una extensión de los números reales que le permiten realizar cálculos que no serían posibles solo con números reales. Son esenciales para muchas áreas de las matemáticas y sus aplicaciones, y una buena comprensión de ellos es crucial para el ENEM y otros exámenes de matemáticas.

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