56. Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas

Las funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas son conceptos fundamentales en matemáticas y se abordan con frecuencia en las preguntas ENEM. Para comprender estas funciones, es importante comprender primero qué es una función.

Una función es una relación entre dos conjuntos, en la que cada elemento del primer conjunto (dominio) corresponde a un único elemento del segundo conjunto (codominio). Dicho esto, comprendamos cada una de las funciones.

Funciones del inyector

Se dice que una función f es inyectiva (o inyectiva) si y sólo si diferentes elementos del dominio tienen diferentes imágenes en el rango. En otras palabras, no hay dos valores diferentes en el dominio que correspondan al mismo valor en el rango. Matemáticamente, esto se expresa como: si x1 ≠ x2, entonces f(x1) ≠ f(x2).

Por ejemplo, la función f(x) = 2x + 3 es una función uno a uno. Si tomas dos valores diferentes de x, digamos 1 y 2, obtendrás dos valores diferentes de f(x), que son 5 y 7 respectivamente.

Funciones sobreyectivas

Se dice que una función f es sobreyectiva (o sobreyectiva) si y sólo si cada elemento en el rango es una imagen de al menos un elemento en el dominio. En otras palabras, no hay valores en el rango que no coincidan con algún valor del dominio. Matemáticamente, esto se expresa como: por cada y en el rango, hay una x en el dominio tal que f(x) = y.

Por ejemplo, la función f(x) = x² es una función sobreyectiva si consideramos el dominio y el rango como los conjuntos de todos los números reales. Todo número real es el cuadrado de algún otro número real.

Funciones de biyección

Se dice que una función f es uno a uno (o uno a uno) si y sólo si es uno a uno y uno a uno. En otras palabras, cada elemento de dominio corresponde a un único elemento de codominio y viceversa. Matemáticamente, esto se expresa como: si x1 ≠ x2, entonces f(x1) ≠ f(x2) y para cada y en el rango, hay una x en el dominio tal que f(x) = y.

Por ejemplo, la función f(x) = 2x + 3 es una función uno a uno si consideramos el dominio y el rango como los conjuntos de todos los números reales. Todo número real es el resultado de 2x + 3 para algún número real x, y no hay dos números reales diferentes que den como resultado el mismo valor de f(x).

Comprender las funciones uno a uno, uno a uno y uno a uno es crucial para resolver muchos problemas matemáticos. Estos conceptos son fundamentales para el estudio de funciones, que es una parte importante del plan de estudios de matemáticas del ENEM. Espero que este texto haya ayudado a aclarar estos conceptos.

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