Preparatório Caixa TI: Matemática e Raciocínio Lógico para provas

Proposições e valores lógicos

Proposição é uma frase declarativa que pode ser classificada como verdadeira (V) ou falsa (F). Perguntas, ordens e frases vagas não são proposições.

• Exemplos de proposições: “A Caixa é um banco público.” (V), “2 + 2 = 5.” (F).
• Não proposições: “Feche a porta.”, “Qual é seu nome?”

Atalho e armadilha

• Atalho: se não dá para atribuir V/F sem ambiguidade, não é proposição.
• Armadilha: frases com “depende” (ex.: “Este sistema é rápido”) costumam ser vagas; sem critério, não viram proposição.

Conectivos lógicos (E, OU, SE...ENTÃO, SE E SOMENTE SE, NÃO)

Conectivos combinam proposições para formar proposições compostas. Na prova, o foco é reconhecer quando a composta é V/F e manipular equivalências.

Negação (¬p)

Inverte o valor lógico. Se p é V, ¬p é F; se p é F, ¬p é V.

• p: “O servidor está disponível.” → ¬p: “O servidor não está disponível.”

Conjunção (p ∧ q) — “E”

V apenas quando as duas são V.

• “O usuário está autenticado” (p) E “tem permissão” (q). Acesso liberado só se p e q forem verdade.

Disjunção (p ∨ q) — “OU” inclusivo

F apenas quando as duas são F. Em provas, “ou” normalmente é inclusivo (pode ser um, outro ou ambos), a menos que o enunciado diga “ou exclusivo”, “apenas um”, “um ou outro, mas não ambos”.

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• “O atendimento será por chat ou telefone.” Pode ser pelos dois, se não houver exclusão explícita.

Condicional (p → q) — “Se p, então q”

É F apenas quando p é V e q é F. Nos demais casos, é V.

• p: “O cliente digitou a senha correta.” q: “O sistema libera acesso.” p→q é falso somente se a senha estiver correta e mesmo assim não liberar.

Bicondicional (p ↔ q) — “Se e somente se”

É V quando p e q têm o mesmo valor (ambos V ou ambos F). Interpretação: p é condição necessária e suficiente para q.

• “O token é válido se e somente se a assinatura confere.”

Exemplo guiado (tabela-verdade rápida)

Considere p: “Há conexão com a rede” e q: “O DNS responde”. Avalie (p ∧ q) → p.

• Se (p ∧ q) é V, então p é necessariamente V, logo a implicação fica V.
• Se (p ∧ q) é F, a implicação é V (implicação com antecedente F é V).

Portanto, (p ∧ q) → p é sempre verdadeira (tautologia).

Equivalências lógicas mais cobradas

Equivalências permitem transformar expressões sem mudar o valor lógico. Isso acelera questões de simplificação e negação de frases.

1) Implicação

p → q ≡ ¬p ∨ q

Leitura prática: “Se p então q” falha só quando p ocorre e q não ocorre; por isso equivale a “ou p não ocorre, ou q ocorre”.

2) Contrapositiva

p → q ≡ ¬q → ¬p

Atalho: muitas questões pedem a “forma equivalente” de uma condicional; a contrapositiva é a mais segura.

3) Leis de De Morgan

¬(p ∧ q) ≡ (¬p ∨ ¬q) e ¬(p ∨ q) ≡ (¬p ∧ ¬q)

Use para negar frases com “e/ou”.

4) Bicondicional

p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)

Exemplo (negação de enunciado)

Negue: “O sistema autentica o usuário e registra o log.”

Seja p: “autentica”, q: “registra log”. Frase: p ∧ q. Negação: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q.

Resposta em português: “O sistema não autentica o usuário ou não registra o log (ou ambos).”

Armadilha de linguagem

• Negar “todos” vira “existe pelo menos um que não”.
• Negar “existe” vira “para todo, não”.
• Negar “e” vira “ou”; negar “ou” vira “e”.

Quantificadores (∀ e ∃) no nível de prova

Quantificadores aparecem em frases sobre conjuntos (usuários, transações, servidores).

• ∀ (para todo): afirma algo para todos os elementos.
• ∃ (existe): afirma que ao menos um elemento satisfaz.

Negação de quantificadores (regra essencial)

• ¬(∀x P(x)) ≡ ∃x ¬P(x)
• ¬(∃x P(x)) ≡ ∀x ¬P(x)

Exemplo contextualizado

Frase: “Para todo usuário do sistema (∀), existe uma senha válida (∃) cadastrada.”

Formal: ∀u ∃s Válida(u,s).

Negação: ∃u ∀s ¬Válida(u,s). Em português: “Existe um usuário para o qual nenhuma senha cadastrada é válida.”

Armadilha comum

Ao negar, troca-se ∀ por ∃ e inverte-se o predicado, mantendo a ordem quando possível. Em expressões com dois quantificadores, a troca altera o sentido.

Diagramas lógicos (Venn) e leitura de enunciados

Diagramas ajudam em proposições do tipo “todo A é B”, “nenhum A é B”, “algum A é B”. Use conjuntos para representar categorias (ex.: “servidores”, “servidores Linux”, “servidores com backup”).

Traduções típicas

• “Todo A é B” → A ⊆ B.
• “Nenhum A é B” → A ∩ B = ∅.
• “Algum A é B” → A ∩ B ≠ ∅.
• “Algum A não é B” → A \ B ≠ ∅.

Exemplo (dedução por conjuntos)

Premissas: (1) Todo servidor de aplicação (A) é servidor monitorado (M). (2) Nenhum servidor monitorado (M) está fora do inventário (I). Conclusão: Todo servidor de aplicação (A) está no inventário (I).

Passo a passo: A ⊆ M e M ⊆ I ⇒ A ⊆ I (transitividade de inclusão).

Contagem simples (princípios básicos)

Questões de contagem costumam usar: princípio multiplicativo, aditivo e permutações/combinações simples quando explicitadas.

Princípio multiplicativo

Se uma tarefa tem etapas independentes com a opções na 1ª e b na 2ª, total = a·b.

Exemplo: Uma senha de 2 caracteres, sendo 1 letra (26 opções) e 1 dígito (10 opções), nessa ordem: 26·10 = 260.

Princípio aditivo

Se são alternativas mutuamente exclusivas: total = soma.

Exemplo: Atendimento por chat (3 canais) ou por telefone (2 linhas), sem simultaneidade: 3 + 2 = 5.

Armadilhas

• Verifique se a ordem importa (senha “AB” ≠ “BA”).
• Verifique se há repetição permitida (pode repetir dígitos?).
• “Ou” pode ser inclusivo; em contagem, isso muda se há interseção.

Razão, proporção e regra de três

Razão é uma comparação por divisão (a/b). Proporção é igualdade entre razões (a/b = c/d).

Regra de três simples (passo a passo)

Use quando duas grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.

• Direta: aumenta uma, aumenta a outra (ex.: tempo de processamento vs quantidade de transações, mantendo taxa constante).
• Inversa: aumenta uma, diminui a outra (ex.: número de servidores vs tempo para processar um lote, assumindo paralelismo ideal).

Exemplo (direta): 5.000 transações levam 2 minutos. Quanto tempo para 12.500 transações, mesma taxa?

Passo a passo: (1) Proporção direta: tempo ∝ transações. (2) Monte: 5.000 → 2 min; 12.500 → x. (3) x = 2·(12.500/5.000) = 2·2,5 = 5 min.

Exemplo (inversa): 4 servidores processam um lote em 6 horas. Em quantas horas 6 servidores processam o mesmo lote (paralelismo ideal)?

Passo a passo: (1) Inversa: servidores·tempo = constante. (2) 4·6 = 6·x ⇒ x = 24/6 = 4 horas.

Porcentagem: leitura rápida e pegadinhas

Porcentagem é razão com base 100. x% = x/100.

Atalhos úteis

• 10% = dividir por 10; 5% = metade de 10%; 1% = dividir por 100.
• Aumento de p%: multiplicar por (1 + p/100). Desconto de p%: multiplicar por (1 − p/100).

Armadilha: “voltar ao valor original”

Se algo sobe 20% e depois cai 20%, não volta ao original (porque a base mudou).

Exemplo: 100 → +20% = 120 → −20% = 96.

Exemplo contextualizado

Um serviço custava R$ 800/mês e teve reajuste de 12%. Novo valor: 800·1,12 = R$ 896.

Juros simples e compostos

Em finanças, juros aparecem com frequência. Em contexto bancário, a prova costuma cobrar fórmulas e interpretação de taxa e período.

Juros simples

Fórmulas: J = C·i·t e M = C + J = C(1 + i·t), onde C é capital, i taxa por período, t número de períodos.

Exemplo (passo a passo): C = 2.000, i = 3% ao mês (0,03), t = 4 meses.

• J = 2000·0,03·4 = 240
• M = 2000 + 240 = 2.240

Juros compostos

Fórmula: M = C(1 + i)^t e J = M − C.

Exemplo (passo a passo): C = 2.000, i = 3% ao mês, t = 4.

• M = 2000·(1,03)^4
• (1,03)^2 = 1,0609; (1,03)^4 = (1,0609)^2 ≈ 1,12550881
• M ≈ 2000·1,12550881 = 2.251,02
• J ≈ 251,02

Atalho e armadilha

• Atalho: para t pequeno, compostos > simples (mesma taxa e período), exceto t=1 (iguais).
• Armadilha: taxa deve estar no mesmo período de t (ao mês com meses; ao ano com anos). Converter quando necessário.

Estatística básica: média, mediana e moda

Essas medidas resumem dados (ex.: tempos de atendimento, quantidade de chamados por dia).

Média aritmética

Soma dos valores dividido pela quantidade.

Exemplo: tempos (min) de 5 atendimentos: 8, 10, 10, 12, 20. Média = (8+10+10+12+20)/5 = 60/5 = 12.

Mediana

Valor central após ordenar. Se n é par, é a média dos dois centrais.

Exemplo: 8, 10, 10, 12, 20 → mediana = 10.

Moda

Valor mais frequente.

Exemplo: 8, 10, 10, 12, 20 → moda = 10.

Armadilha de prova

• Dados com outlier (ex.: 20) puxam a média para cima; mediana é mais robusta.
• Pode haver mais de uma moda (bimodal) ou nenhuma (amodal).

Exercícios de Raciocínio Lógico (com resolução comentada)

1) Conectivos e equivalência

Questão: Seja p: “O sistema está em manutenção” e q: “O acesso está indisponível”. Qual expressão é equivalente a p → q?

Resolução: Use a equivalência da implicação: p → q ≡ ¬p ∨ q. Logo, a equivalente é “O sistema não está em manutenção OU o acesso está indisponível”.

Armadilha: confundir com q → p (não é equivalente).

2) Contrapositiva

Questão: Reescreva de forma equivalente: “Se o usuário é administrador, então ele pode aprovar a operação.”

Resolução: p: “usuário é administrador”, q: “pode aprovar”. Contrapositiva: ¬q → ¬p. Portanto: “Se o usuário não pode aprovar a operação, então ele não é administrador.”

3) De Morgan (negação correta)

Questão: Negue a afirmação: “O cliente possui cartão e possui senha cadastrada.”

Resolução: p: “possui cartão”, q: “possui senha”. Frase: p ∧ q. Negação: ¬p ∨ ¬q. Em português: “O cliente não possui cartão ou não possui senha cadastrada.”

Armadilha: responder “não possui cartão e não possui senha” (isso seria forte demais).

4) Quantificadores

Questão: Negue: “Todos os chamados foram resolvidos no prazo.”

Resolução: ∀c P(c). Negação: ∃c ¬P(c). Em português: “Existe pelo menos um chamado que não foi resolvido no prazo.”

5) Diagramas (inclusão de conjuntos)

Questão: Premissas: (1) Todo analista de TI (A) é empregado (E). (2) Nenhum empregado (E) é terceirizado (T). O que se conclui sobre A e T?

Resolução: A ⊆ E e E ∩ T = ∅. Logo, A ∩ T = ∅: nenhum analista de TI é terceirizado.

6) Contagem (princípio multiplicativo)

Questão: Um código de acesso tem 3 dígitos (0 a 9) e pode repetir. Quantos códigos existem?

Resolução: Cada posição tem 10 opções, independentes. Total = 10·10·10 = 10^3 = 1000.

Armadilha: proibir repetição sem o enunciado dizer.

7) Contagem com restrição simples

Questão: Um código tem 3 dígitos (0 a 9), sem repetição. Quantos códigos existem?

Resolução: 1º dígito: 10 opções; 2º: 9; 3º: 8. Total = 10·9·8 = 720.

8) Regra de três (direta)

Questão: Uma equipe valida 120 cadastros em 3 horas. Em quanto tempo valida 200 cadastros, mantendo o ritmo?

Resolução: Direta. Tempo = 3·(200/120) = 3·(5/3) = 5 horas.

9) Porcentagem (desconto e base)

Questão: Uma tarifa de R$ 50 sofreu desconto de 8%. Qual o novo valor?

Resolução: 50·(1 − 0,08) = 50·0,92 = R$ 46.

Armadilha: confundir 8% com 0,8.

10) Juros simples vs compostos

Questão: Um capital de R$ 1.000 rende 2% ao mês por 3 meses. Calcule o montante em juros simples e em juros compostos.

Resolução: Simples: M = 1000(1 + 0,02·3) = 1000(1,06) = 1060. Compostos: M = 1000(1,02)^3 = 1000·1,061208 ≈ 1061,21.

Atalho: (1,02)^3 = 1,02·1,02·1,02; faça (1,02)^2 = 1,0404 e multiplique por 1,02.

11) Estatística (média/mediana/moda)

Questão: Quantidade de incidentes por dia em 7 dias: 2, 3, 3, 4, 4, 4, 10. Calcule média, mediana e moda.

Resolução: Soma = 30. Média = 30/7 ≈ 4,2857. Mediana (4º termo) = 4. Moda = 4.

Armadilha: esquecer de ordenar antes de achar a mediana (aqui já está ordenado).

Lista de exercícios (treino) com gabarito comentado

Exercícios

• 1) Seja p: “O backup foi concluído” e q: “O relatório foi enviado”. Escreva a negação de (p ∨ q).
• 2) Transforme em forma equivalente: “Se a transação é suspeita, então é bloqueada.”
• 3) Negue: “Existe um usuário com acesso irrestrito.”
• 4) Premissas: Todo A é B. Algum B é C. É correto concluir que algum A é C? (sim/não e justifique).
• 5) Uma senha tem 2 letras (A-Z) seguidas de 2 dígitos (0-9), com repetição permitida. Quantas senhas possíveis?
• 6) Um serviço teve aumento de 15% e depois desconto de 15%. Se o valor inicial era R$ 200, qual o valor final?
• 7) Em juros simples, quanto rende (juros) um capital de R$ 3.000 a 1,5% ao mês por 8 meses?
• 8) Dados: 5, 7, 7, 9. Calcule média, mediana e moda.

Gabarito comentado

• 1) ¬(p ∨ q) ≡ (¬p ∧ ¬q). Em português: “O backup não foi concluído e o relatório não foi enviado.”
• 2) p → q ≡ ¬p ∨ q. Equivalente: “A transação não é suspeita ou é bloqueada.” (ou use a contrapositiva: “Se não é bloqueada, então não é suspeita.”)
• 3) “Existe um usuário com acesso irrestrito” = ∃u P(u). Negação: ∀u ¬P(u): “Para todo usuário, não há acesso irrestrito.”
• 4) Não. De “Todo A é B” (A ⊆ B) e “Algum B é C” (B ∩ C ≠ ∅) não segue que A ∩ C ≠ ∅, pois o elemento de B que está em C pode estar fora de A.
• 5) 26·26·10·10 = 26^2·10^2 = 676·100 = 67.600.
• 6) 200·1,15 = 230; depois 230·0,85 = 195,5. Não volta ao original.
• 7) J = C·i·t = 3000·0,015·8 = 3000·0,12 = 360. Juros = R$ 360.
• 8) Média = (5+7+7+9)/4 = 28/4 = 7. Mediana = (7+7)/2 = 7. Moda = 7.