18. Progressions arithmétiques et géométriques

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Les progressions arithmétiques et géométriques sont des sujets fondamentaux dans l'étude des mathématiques et sont souvent requises dans le test Enem. Ce sont des séquences de nombres qui suivent des règles spécifiques et prévisibles, ce qui en fait un outil utile pour résoudre divers problèmes mathématiques.

Dans une Progression arithmétique (AP), chaque terme (sauf le premier) est la somme du terme précédent avec une constante, appelée le rapport. Par exemple, dans une séquence 2, 4, 6, 8, chaque terme vaut 2 de plus que le terme précédent, donc le rapport est 2. La formule générale pour le nième terme d'un AP est a1 + (n-1)*r , où a1 est le premier terme, r est le rapport et n est le numéro du terme que nous voulons trouver.

Pour mieux comprendre, considérons un AP où le premier terme est 3 et le rapport est 5. Si nous voulons trouver le 4ème terme, nous substituons dans la formule : 3 + (4-1)*5 = 3 + 15 = 18. Donc le 4ème terme est 18.

La somme des n premiers termes d'un AP peut également être calculée par la formule S = n/2 * (a1 + an), où S est la somme, n est le nombre de termes, a1 est le premier terme et an est le nième terme. Si, dans l'exemple précédent, on voulait additionner les 4 premiers termes, on aurait S = 4/2 * (3 + 18) = 2 * 21 = 42.

Dans une Progression Géométrique (GP), chaque terme (sauf le premier) est le produit du terme précédent par une constante, appelée rapport. Par exemple, dans une séquence 2, 4, 8, 16, chaque terme est 2 fois le terme précédent, donc le rapport est 2. La formule générale pour le nième terme d'un GP est a1 * r^(n-1), où a1 est le premier terme, r est le rapport et n est le numéro du terme que nous voulons trouver.

Considérons un GP où le premier terme est 2 et le rapport est 3. Si nous voulons trouver le 4ème terme, nous substituons dans la formule : 2 * 3^(4-1) = 2 * 27 = 54. Donc , le 4ème terme est 54.

La somme des n premiers termes d'un GP peut être calculée par la formule S = a1 * (1 - r^n) / (1 - r) si le rapport est différent de 1. Dans l'exemple précédent, si nous voulons ajouter les 4 premiers termes, nous aurions S = 2 * (1 - 3^4) / (1 - 3) = 2 * (-80) / -2 = 80.

Il est important de noter que les progressions arithmétiques et géométriques ne sont que deux types de séquences numériques. Il en existe de nombreux autres types, mais ceux-ci sont les plus courants et sont souvent rencontrés dans des contextes variés, depuis les problèmes mathématiques purs jusqu'aux applications pratiques en sciences physiques et en économie.

Enfin, il est essentiel de s'entraîner à résoudre des problèmes impliquant AP et PG pour se familiariser avec leurs propriétés et pouvoir les appliquer efficacement dans le test Enem. N'oubliez pas que les mathématiques sont une matière qui nécessite une pratique continue pour perfectionner vos compétences et développer votre intuition.

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