13. Polynômes

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13. Polynômes

Les polynômes sont des fonctions mathématiques qui ont de nombreuses applications dans plusieurs domaines, tels que la physique et l'ingénierie. Dans le programme ENEM, les polynômes sont l'un des sujets abordés en mathématiques, et il est essentiel que les candidats comprennent bien ce sujet afin de résoudre les questions du test.

Un polynôme est une expression mathématique impliquant des variables et des coefficients. Les coefficients sont des nombres réels et les variables sont élevées à des puissances entières non négatives. La somme de ces termes forme le polynôme. Chaque terme d’un polynôme est appelé monôme. Le degré d'un polynôme est déterminé par le plus grand exposant de sa variable.

Représentation d'un polynôme

Un polynôme P(x) de degré n dans la variable x est représenté par l'expression :

P(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + a_n-2x^n-2 + ... + a₂x² + a ₁x + a₀

Où, a_n, a_n-1, a_n-2, ..., a_{2, a1 et a0 sont les coefficients du polynôme et x est la variable. Le coefficient an est appelé coefficient dominant et ne peut pas être nul.}

Opérations avec des polynômes

Les opérations avec les polynômes incluent l'addition, la soustraction, la multiplication et la division. En addition et soustraction, nous combinons des termes similaires pour obtenir le résultat. En multiplication, chaque terme du premier polynôme est multiplié par chaque terme du deuxième polynôme. La division de polynômes est un peu plus complexe et nécessite l'utilisation de l'algorithme de division longue ou de division synthétique.

Valeur numérique d'un polynôme

La valeur numérique d'un polynôme est le résultat que nous obtenons lorsque nous remplaçons la variable polynomiale par un nombre. Par exemple, si nous avons le polynôme P(x) = 2x² + 3x + 1 et que nous voulons trouver la valeur de P(2), nous substituons x à 2 dans l'expression polynomiale pour obtenir P(2) = 2(2)² + 3(2) + 1 = 11.

Polynômes identiques

Deux polynômes sont identiques s'ils ont les mêmes coefficients et les mêmes degrés correspondants dans leurs variables. Par exemple, les polynômes P(x) = 2x³ + 3x² - x + 1 et Q(x) = 2x³ + 3x ² - x + 1 sont identiques car ils ont les mêmes coefficients (2, 3, -1, 1) et les mêmes degrés correspondants (3, 2, 1, 0) dans leurs variables. sup> p>

Théorème fondamental de l'algèbre

Le théorème fondamental de l'algèbre stipule que tout polynôme de degré n, avec n supérieur à zéro, a exactement n racines complexes. Cela signifie que nous pouvons résoudre n’importe quelle équation polynomiale en trouvant ses racines. Les racines d'un polynôme sont les valeurs de x qui rendent le polynôme égal à zéro.

En résumé, les polynômes constituent un élément fondamental des mathématiques et ont de nombreuses applications pratiques. En ENEM, la compréhension des polynômes est essentielle pour résoudre de nombreux problèmes mathématiques. Par conséquent, il est important de bien étudier et comprendre ce sujet.

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