3. Nombres complexes

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Les nombres complexes sont une extension de l'ensemble des nombres réels et sont très importants pour les mathématiques et leurs applications, notamment la physique et l'ingénierie. Ils sont souvent utilisés dans les questions du lycée et de l'ENEM, il est donc crucial de comprendre ce sujet pour réussir le test.

Un nombre complexe est un nombre de la forme a + bi, où a et b sont des nombres réels et i est l'unité imaginaire, qui a la propriété que i² = -1. La partie a est appelée la partie réelle du nombre complexe et la partie bi est appelée la partie imaginaire. Par exemple, si nous avons le nombre complexe 3 + 4i, alors 3 est la partie réelle et 4 est la partie imaginaire.

Les nombres complexes peuvent être représentés graphiquement sur le plan complexe, qui est similaire au plan cartésien que nous utilisons pour représenter les nombres réels. La différence est que l’axe des x représente la partie réelle du nombre complexe et l’axe des y représente la partie imaginaire. Par conséquent, le nombre complexe a + bi est représenté comme un point dans le plan dont les coordonnées sont (a, b).

Il existe plusieurs opérations que nous pouvons effectuer avec des nombres complexes, notamment l'addition, la soustraction, la multiplication et la division. L'addition et la soustraction s'effectuent en ajoutant ou en soustrayant respectivement les parties réelles et les parties imaginaires. Par exemple, si nous avons les nombres complexes z1 = a + bi et z2 = c + di, alors z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i et z1 - z2 = (a - c) + ( b - d)i.

La multiplication est un peu plus compliquée, mais elle reste assez simple. Si nous avons les nombres complexes z1 = a + bi et z2 = c + di, alors z1 * z2 = (ac - bd) + (ad + bc)i. Notez que le produit de deux nombres complexes est un autre nombre complexe.

La division de nombres complexes est un peu plus compliquée, mais c'est également possible. Si nous avons les nombres complexes z1 = a + bi et z2 = c + di, alors z1 / z2 = (ac + bd) / (c² + d²) + (bc - ad) / (c² + d²)i. Notez que le dénominateur est toujours un nombre réel, le résultat est donc un nombre complexe.

Les nombres complexes ont également un concept de module et d'argument, qui sont analogues à la norme et à l'angle d'un vecteur dans le plan. Le module d'un nombre complexe z = a + bi est donné par |z| = sqrt(a² + b²), qui est la distance du point représentant z à l'origine dans le plan complexe. L'argument de z est l'angle que fait la ligne du point à l'origine avec l'axe des x positif, mesuré dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

Les nombres complexes ont également une notion de conjugué, qui s'obtient en changeant le signe de la partie imaginaire. Le conjugué d'un nombre complexe z = a + bi est noté z̅ et est donné par z̅ = a - bi. Le conjugué a la propriété que z * z̅ = |z|².

En résumé, les nombres complexes sont une extension des nombres réels qui vous permettent d'effectuer des calculs qui ne seraient pas possibles avec de simples nombres réels. Ils sont essentiels pour de nombreux domaines des mathématiques et de leurs applications, et une bonne compréhension de ceux-ci est cruciale pour l'ENEM et d'autres examens de mathématiques.

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