Raciocínio Lógico e Matemático para Técnico do IBGE: lógica proposicional e argumentação

Este capítulo organiza a lógica proposicional do básico ao aplicado em provas: identificar proposições, operar com conectivos, construir tabelas-verdade, usar equivalências e negações, interpretar implicações (incluindo condições necessárias e suficientes) e, por fim, testar validade de argumentos com justificativas formais.

1) Proposições

1.1 O que é uma proposição

Proposição é uma frase declarativa que pode ser classificada como verdadeira (V) ou falsa (F), mesmo que você não saiba o valor no momento.

• Exemplos de proposições: “O IBGE realiza pesquisas domiciliares.”; “2 + 2 = 5.”
• Não são proposições: perguntas (“Você estudou?”), ordens (“Feche a porta.”), exclamações (“Que dia lindo!”) e frases vagas sem valor lógico definido (“Este número é grande.” sem contexto).

1.2 Proposições simples e compostas

• Simples (atômica): não contém conectivo lógico. Ex.: p: “A amostra é aleatória.”
• Composta: formada por proposições simples ligadas por conectivos. Ex.: “A amostra é aleatória e o erro é pequeno.”

1.3 Simbolização (passo a passo)

Em questões, o primeiro ganho de tempo é transformar texto em símbolos.

Passo a passo:

• 1) Separe as proposições simples e nomeie-as (p, q, r...).
• 2) Identifique conectivos no enunciado (e, ou, se... então, se e somente se, não).
• 3) Escreva a fórmula lógica.

Exemplo: “Se o questionário foi aplicado, então os dados foram coletados.”

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• p: “O questionário foi aplicado.”
• q: “Os dados foram coletados.”
• Fórmula: p → q

2) Valores lógicos

O valor lógico de uma proposição é V ou F. Em tabelas-verdade, analisamos todas as combinações possíveis de valores para as proposições simples envolvidas.

Para n proposições simples, há 2ⁿ linhas na tabela-verdade.

• n = 1 → 2 linhas
• n = 2 → 4 linhas
• n = 3 → 8 linhas

3) Conectivos lógicos

3.1 Negação (¬p)

A negação inverte o valor lógico.

• Se p é V, ¬p é F.
• Se p é F, ¬p é V.

3.2 Conjunção (p ∧ q) — “e”

Verdadeira somente quando ambas são verdadeiras.

3.3 Disjunção inclusiva (p ∨ q) — “ou” (no sentido comum de provas)

Falsa somente quando ambas são falsas. Se pelo menos uma é verdadeira, a disjunção é verdadeira.

3.4 Disjunção exclusiva (p ⊕ q) — “ou... ou...” (quando o enunciado exclui simultaneidade)

Verdadeira quando exatamente uma é verdadeira. Em concursos, o “ou” costuma ser inclusivo, a menos que o texto deixe claro “mas não ambos”.

3.5 Condicional (p → q) — “se p, então q”

É falsa apenas quando p é verdadeira e q é falsa. Nos demais casos, é verdadeira.

Leitura útil: p é condição suficiente para q; q é condição necessária para p.

3.6 Bicondicional (p ↔ q) — “se, e somente se”

Verdadeira quando p e q têm o mesmo valor lógico (ambas V ou ambas F).

4) Tabelas-verdade

4.1 Como montar rapidamente

Passo a passo:

• 1) Liste as proposições simples (p, q, r...).
• 2) Crie 2ⁿ linhas com combinações de V/F (p alterna a cada metade da tabela; q alterna a cada quarto; etc.).
• 3) Calcule colunas intermediárias (¬p, p ∧ q, etc.).
• 4) Calcule a coluna final da expressão.

4.2 Tabela-verdade de conectivos básicos (p e q)

p  q | ¬p | p∧q | p∨q | p→q | p↔q | p⊕q
V  V |  F |  V  |  V  |  V  |  V  |  F
V  F |  F |  F  |  V  |  F  |  F  |  V
F  V |  V |  F  |  V  |  V  |  F  |  V
F  F |  V |  F  |  F  |  V  |  V  |  F

4.3 Problema curto (com tabela-verdade)

Problema: Verifique se (p → q) é equivalente a (¬p ∨ q).

Passo a passo: monte as colunas p→q e ¬p∨q e compare.

p  q | p→q | ¬p | ¬p∨q
V  V |  V  |  F |   V
V  F |  F  |  F |   F
F  V |  V  |  V |   V
F  F |  V  |  V |   V

As colunas finais coincidem em todas as linhas, então são equivalentes.

5) Equivalências e negações

5.1 Equivalências mais usadas em prova

• Implicação: (p → q) ≡ (¬p ∨ q)
• Contrapositiva: (p → q) ≡ (¬q → ¬p)
• Dupla negação: ¬(¬p) ≡ p
• De Morgan: ¬(p ∧ q) ≡ (¬p ∨ ¬q) e ¬(p ∨ q) ≡ (¬p ∧ ¬q)
• Bicondicional: (p ↔ q) ≡ (p → q) ∧ (q → p)
• Distribuição: p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r); p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

5.2 Negação de proposições compostas (passo a passo)

Passo a passo:

• 1) Identifique o conectivo principal (o “último” a ser aplicado).
• 2) Aplique De Morgan quando houver ∧/∨ dentro de uma negação.
• 3) Empurre a negação para dentro até atingir proposições simples.
• 4) Simplifique com dupla negação.

Exemplo 1: Negue ¬(p ∨ q).

• ¬(p ∨ q) negado é ¬¬(p ∨ q) ≡ (p ∨ q)

Exemplo 2: Negue (p ∧ (q ∨ r)).

• ¬(p ∧ (q ∨ r)) ≡ (¬p ∨ ¬(q ∨ r))
• ¬(q ∨ r) ≡ (¬q ∧ ¬r)
• Logo: ¬(p ∧ (q ∨ r)) ≡ (¬p ∨ (¬q ∧ ¬r))

5.3 Diagramas (árvore de conectivos) para evitar erro de escopo

Uma forma prática de enxergar o conectivo principal é desenhar uma árvore simples.

Expressão: ¬(p ∧ (q ∨ r))

          ¬
          |
          ∧
        /   \
       p     ∨
            / \
           q   r

O conectivo principal dentro da negação é o ∧, então a primeira aplicação é De Morgan sobre o ∧.

6) Implicação: leitura, conversas e armadilhas

6.1 Leitura correta

Em p → q:

• p é o antecedente (hipótese).
• q é o consequente (tese).

Interpretações equivalentes comuns:

• “p implica q”
• “p somente se q” (atenção: “somente se” aponta para o consequente)
• “q é necessário para p”
• “p é suficiente para q”

6.2 Conversa, inversa e contrapositiva

• Conversa: q → p (não é equivalente em geral)
• Inversa: ¬p → ¬q (não é equivalente em geral)
• Contrapositiva: ¬q → ¬p (equivalente a p → q)

Problema curto: Dada a afirmação “Se o setor foi visitado, então houve coleta.” (v → c). Qual é a contrapositiva?

• Contrapositiva: ¬c → ¬v (“Se não houve coleta, então o setor não foi visitado.”)

7) Condições necessárias e suficientes

7.1 Definições operacionais

• Em p → q: q é necessária para p (p não acontece sem q).
• Em p → q: p é suficiente para q (p garante q).

7.2 Traduções típicas de enunciados

• “p é condição suficiente para q” → p → q
• “p é condição necessária para q” → q → p
• “p é condição necessária e suficiente para q” → p ↔ q
• “q somente se p” → q → p

7.3 Problema médio (tradução + equivalência)

Enunciado: “Para que o relatório seja aceito (A), é necessário que esteja assinado (S).”

Passo a passo:

• 1) “S é necessário para A” significa A → S.
• 2) Forma equivalente por implicação: A → S ≡ (¬A ∨ S).

Interpretação: ou o relatório não é aceito, ou (se aceito) está assinado.

8) Validade de argumentos

8.1 Conceito

Um argumento é válido quando não existe situação (atribuição de V/F às proposições) em que todas as premissas sejam verdadeiras e a conclusão seja falsa. Validade é forma lógica, não depende do “assunto” ser real.

8.2 Métodos práticos de verificação

• Por regras de inferência (preferível em prova): aplicar esquemas válidos (Modus Ponens, Modus Tollens etc.).
• Por tabela-verdade: útil quando há poucas proposições (2 ou 3) e a expressão é direta.
• Por equivalências: transformar premissas até chegar à conclusão.

8.3 Regras de inferência mais cobradas

• Modus Ponens (MP): p → q, p ⟹ q
• Modus Tollens (MT): p → q, ¬q ⟹ ¬p
• Silogismo Hipotético (SH): p → q, q → r ⟹ p → r
• Silogismo Disjuntivo (SD): p ∨ q, ¬p ⟹ q (ou p ∨ q, ¬q ⟹ p)
• Conjunção: p, q ⟹ p ∧ q
• Simplificação: p ∧ q ⟹ p (e também ⟹ q)
• Dilema construtivo (forma comum): (p → r) ∧ (q → s), p ∨ q ⟹ r ∨ s

8.4 Diagramas de fluxo (encadeamento de implicações)

Quando há várias condicionais, desenhar setas ajuda a enxergar o caminho até a conclusão.

Premissas: p→q, q→r

p  →  q  →  r

Conclusão esperada: p→r (silogismo hipotético)

9) Problemas resolvidos (curtos e médios)

9.1 Curto: identificar conectivo principal e negar corretamente

Problema: Negue a proposição: “Se p então (q e r)”.

Solução (passo a passo):

• 1) Escreva: p → (q ∧ r).
• 2) Use equivalência: p → (q ∧ r) ≡ ¬p ∨ (q ∧ r).
• 3) Negue: ¬(¬p ∨ (q ∧ r)).
• 4) De Morgan: ¬(¬p ∨ X) ≡ (p ∧ ¬X), com X = (q ∧ r).
• 5) Negue X: ¬(q ∧ r) ≡ (¬q ∨ ¬r).
• 6) Resultado: ¬(p → (q ∧ r)) ≡ p ∧ (¬q ∨ ¬r).

Leitura: p ocorre e falha pelo menos um entre q e r.

9.2 Curto: reconhecer forma válida (MP)

Problema: Premissas: (p → q) e p. Conclusão: q. O argumento é válido?

Solução: É exatamente Modus Ponens, portanto válido.

9.3 Médio: validade por regras (mistura de conectivos)

Problema: Premissas: (p → q), (q → r), ¬r. Conclusão: ¬p.

Solução (passo a passo):

• 1) De (p → q) e (q → r), aplique SH: obtenha (p → r).
• 2) De (p → r) e ¬r, aplique MT: conclua ¬p.

Logo, o argumento é válido.

9.4 Médio: traduzir “somente se” e concluir formalmente

Problema: “O setor é validado (V) somente se o formulário está completo (C). O setor é validado. Logo, o formulário está completo.”

Passo a passo:

• 1) “V somente se C” significa V → C.
• 2) Premissa adicional: V.
• 3) Por MP em V → C e V, conclui-se C.

10) Caderno de questões comentadas (com justificativas formais)

Questão 1 (equivalência de condicional)

Enunciado: Assinale a expressão equivalente a (p → q).

Comentário: Use a equivalência padrão: (p → q) ≡ (¬p ∨ q). Em alternativas, procure exatamente “não p ou q” (ou forma reordenada q ∨ ¬p).

Questão 2 (negação com De Morgan)

Enunciado: Negue: “p e q”.

Comentário formal: A proposição é (p ∧ q). Pela lei de De Morgan: ¬(p ∧ q) ≡ (¬p ∨ ¬q). Em linguagem: “não p ou não q” (pelo menos uma falha).

Questão 3 (negação de disjunção)

Enunciado: Negue: “p ou q”.

Comentário formal: (p ∨ q) negado é ¬(p ∨ q) ≡ (¬p ∧ ¬q). Em linguagem: “não p e não q”.

Questão 4 (contrapositiva)

Enunciado: A contrapositiva de (p → q) é:

Comentário formal: (p → q) ≡ (¬q → ¬p). A conversa (q → p) e a inversa (¬p → ¬q) não são equivalentes em geral.

Questão 5 (condição necessária)

Enunciado: “S é condição necessária para T.” Escreva em símbolos.

Comentário formal: “S necessária para T” significa T → S. Justificativa: se T ocorre, então S deve ocorrer; sem S, T não pode ocorrer.

Questão 6 (condição suficiente)

Enunciado: “A é condição suficiente para B.” Escreva em símbolos.

Comentário formal: A → B. Justificativa: A garante B.

Questão 7 (bicondicional)

Enunciado: Reescreva (p ↔ q) usando apenas → e ∧.

Comentário formal: (p ↔ q) ≡ (p → q) ∧ (q → p). Se a questão pedir apenas ∨ e ¬, substitua cada → por (¬p ∨ q).

Questão 8 (validade: Modus Tollens)

Enunciado: Premissas: (p → q) e ¬q. Conclusão: ¬p. O argumento é válido?

Comentário formal: É Modus Tollens. Forma válida: p → q, ¬q ⟹ ¬p.

Questão 9 (validade: silogismo disjuntivo)

Enunciado: Premissas: (p ∨ q) e ¬p. Conclusão: q.

Comentário formal: É Silogismo Disjuntivo. Como p é falso e pelo menos um entre p e q é verdadeiro, resta q verdadeiro.

Questão 10 (média: provar conclusão por equivalências)

Enunciado: A partir de (p → q) e (p → r), conclua (p → (q ∧ r)).

Comentário formal (passo a passo por equivalências):

• 1) (p → q) ≡ (¬p ∨ q) e (p → r) ≡ (¬p ∨ r).
• 2) Conjunção das premissas: (¬p ∨ q) ∧ (¬p ∨ r).
• 3) Use distribuição: (¬p ∨ q) ∧ (¬p ∨ r) ≡ ¬p ∨ (q ∧ r).
• 4) Volte para implicação: ¬p ∨ (q ∧ r) ≡ p → (q ∧ r).

Assim, a conclusão decorre formalmente das premissas.