Raciocínio Lógico e Matemático para Técnico do IBGE: conjuntos, relações e contagem

Conjuntos: conceitos e operações fundamentais

Em provas para Técnico do IBGE, “conjuntos” aparecem para organizar informações (pessoas, domicílios, municípios, itens de um questionário) e para contar corretamente sem duplicar elementos. Um conjunto é uma coleção de elementos. Usaremos notações comuns: A, B, C (conjuntos), x ∈ A (x pertence a A), x ∉ A (não pertence), ∅ (conjunto vazio), U (universo, o total considerado).

Operações entre conjuntos

• União (A ∪ B): elementos que estão em A ou em B (ou em ambos).

• Interseção (A ∩ B): elementos que estão em A e em B ao mesmo tempo.

• Diferença (A \ B): elementos que estão em A e não estão em B.

• Complementar (Aᶜ): elementos do universo U que não estão em A.

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Exemplo rápido: U = {1,2,3,4,5,6}, A = {1,2,3}, B = {3,4,5}. Então A ∪ B = {1,2,3,4,5}, A ∩ B = {3}, A \ B = {1,2}, Bᶜ = {1,2,6}.

Leitura cuidadosa do enunciado: palavras que mudam tudo

• “Pelo menos um” → união (A ∪ B ∪ ...).

• “Exatamente um” → está em um conjunto e não no(s) outro(s): (A \ B) ∪ (B \ A) para dois conjuntos.

• “Nenhum” → complementar da união: (A ∪ B)ᶜ.

• “Apenas A” → A \ (B ∪ C ...).

• “Todos” → interseção (A ∩ B ∩ ...), quando o contexto for “tem as propriedades A e B e C”.

Diagramas (Venn) e contagem com 2 conjuntos

Diagramas ajudam a “visualizar” as regiões e evitar dupla contagem. Para dois conjuntos A e B, existem 4 regiões: apenas A, apenas B, ambos (A ∩ B) e nenhum (fora de A ∪ B).

Fórmula-chave (2 conjuntos)

Se |A| é a quantidade de elementos em A, então:

|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|

O termo −|A ∩ B| corrige a dupla contagem: quem está em A e B foi contado duas vezes em |A| + |B|.

Passo a passo prático (2 conjuntos)

• 1) Identifique o universo (total de pessoas/itens).

• 2) Defina claramente A e B (o que cada conjunto representa).

• 3) Procure no enunciado se há interseção informada (quantos estão em ambos).

• 4) Use a fórmula da união para “pelo menos um”.

• 5) Para “apenas A”, calcule |A \ B| = |A| − |A ∩ B|.

• 6) Para “nenhum”, calcule |(A ∪ B)ᶜ| = |U| − |A ∪ B|.

Exemplo guiado (2 conjuntos)

Em uma equipe com 80 pessoas, 45 fizeram o treinamento A, 30 fizeram o treinamento B e 10 fizeram ambos. Quantas fizeram pelo menos um treinamento? Quantas não fizeram nenhum?

Resolução:

• |A ∪ B| = 45 + 30 − 10 = 65 (pelo menos um).

• Nenhum = 80 − 65 = 15.

Comentário de técnica: sempre que aparecer “pelo menos um” com dois grupos e houver sobreposição, a inclusão-exclusão de 2 conjuntos é a escolha natural.

Diagramas e contagem com 3 conjuntos

Com três conjuntos A, B e C, o diagrama tem regiões “apenas A”, “apenas B”, “apenas C”, interseções de dois a dois (sem o terceiro) e a interseção tripla (A ∩ B ∩ C). A armadilha típica é somar |A|+|B|+|C| e esquecer que as interseções foram contadas mais de uma vez.

Princípio da inclusão-exclusão (3 conjuntos)

|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|

Interpretação: somamos os três totais, subtraímos as sobreposições de dois a dois (porque foram contadas duas vezes) e somamos de volta a interseção tripla (porque foi subtraída em excesso).

Passo a passo prático (3 conjuntos)

• 1) Defina A, B, C e o universo U.

• 2) Liste os dados fornecidos: |A|, |B|, |C|, interseções de dois a dois e, se existir, a tripla.

• 3) Se pedirem “pelo menos um”, aplique diretamente a fórmula.

• 4) Se pedirem “apenas A”, use: |A apenas| = |A| − |A ∩ B| − |A ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.

• 5) Se pedirem “nenhum”, faça: |U| − |A ∪ B ∪ C|.

Exemplo guiado (3 conjuntos)

Em 200 candidatos, 120 acertaram a questão 1 (A), 90 acertaram a questão 2 (B), 70 acertaram a questão 3 (C). Além disso, 50 acertaram 1 e 2, 30 acertaram 1 e 3, 20 acertaram 2 e 3, e 10 acertaram as três. Quantos acertaram pelo menos uma das três questões?

Resolução:

|A ∪ B ∪ C| = 120 + 90 + 70 − 50 − 30 − 20 + 10 = 160

Comentário de técnica: quando o enunciado fornece interseções par a par e a tripla, a inclusão-exclusão é direta. Se a tripla não for dada, muitas vezes ela é a incógnita e você monta a equação.

Exercícios (conjuntos e inclusão-exclusão) com comentários

Exercício 1 (básico, 2 conjuntos)

Em um setor com 60 servidores, 35 usam o sistema X (A), 25 usam o sistema Y (B) e 15 usam ambos. Quantos usam exatamente um dos sistemas?

Comentário: “exatamente um” = (apenas A) + (apenas B). Calcule cada “apenas” subtraindo a interseção.

Exercício 2 (médio, 2 conjuntos + complementar)

Em uma amostra de 150 domicílios, 88 têm internet (A), 65 têm computador (B) e 40 têm ambos. Quantos não têm internet nem computador?

Comentário: “nem… nem…” = fora da união. Primeiro ache |A ∪ B|, depois subtraia do total.

Exercício 3 (médio, 3 conjuntos)

De 300 pessoas, 180 gostam de café (A), 150 gostam de chá (B), 120 gostam de suco (C). Sabendo que 80 gostam de café e chá, 60 de café e suco, 50 de chá e suco, e 30 gostam dos três, quantas gostam de pelo menos uma das bebidas?

Comentário: aplique inclusão-exclusão de 3 conjuntos. Atenção: as interseções de dois a dois incluem quem está nos três; por isso a fórmula corrige com +|A ∩ B ∩ C|.

Análise combinatória essencial: quando somar e quando multiplicar

Em contagem, o ponto central é interpretar o cenário: você está escolhendo entre alternativas (soma) ou encadeando etapas (multiplicação)? Em questões do IBGE, isso aparece em formação de códigos, seleção de equipes, ordenação de tarefas, distribuição de itens e contagem de possibilidades em formulários.

Princípio aditivo (regra da soma)

Se uma tarefa pode ser feita de uma forma entre opções mutuamente exclusivas (não acontecem juntas), e há m maneiras no caso 1 e n maneiras no caso 2, então há m + n maneiras no total.

Exemplo: Um candidato pode escolher fazer prova em cidade A (3 locais) ou cidade B (5 locais). Total de escolhas: 3 + 5 = 8.

Princípio multiplicativo (regra do produto)

Se uma tarefa é feita em etapas sucessivas e independentes, com m maneiras na etapa 1 e n maneiras na etapa 2, então há m × n maneiras no total.

Exemplo: Um código tem 2 letras (26 opções cada) seguidas de 3 dígitos (10 opções cada). Total: 26² × 10³.

Checklist de interpretação (soma vs multiplicação)

• Se o enunciado tem “ou” com alternativas que não se misturam → soma.

• Se o enunciado tem “e”, “em seguida”, “formado por”, “composto de” → multiplicação.

• Se há restrições (“não pode repetir”, “pelo menos um dígito par”), pode exigir casos (soma de casos) ou complementar.

Permutações, arranjos e combinações (sem repetição)

Essas técnicas respondem a três perguntas: (1) a ordem importa? (2) quantos elementos escolho? (3) posso repetir elementos?

Permutação (ordem importa, usa todos)

Permutação de n elementos distintos: número de formas de ordenar todos eles.

P(n) = n!

Exemplo: ordenar 5 relatórios distintos em uma pilha: 5! = 120.

Arranjo (ordem importa, escolhe k de n)

Arranjo simples: escolher k elementos dentre n, com ordem.

A(n,k) = n! / (n-k)!

Exemplo: escolher presidente e secretário entre 10 pessoas (cargos diferentes): A(10,2) = 10×9 = 90.

Combinação (ordem não importa, escolhe k de n)

Combinação simples: escolher k elementos dentre n, sem ordem.

C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)

Exemplo: formar uma equipe de 3 pessoas dentre 10: C(10,3) = 120.

Passo a passo prático para escolher a técnica (sem repetição)

• 1) Identifique se a ordem muda o resultado. Se trocar dois escolhidos gera resultado diferente, a ordem importa.

• 2) Veja se você está usando todos os elementos (n) ou apenas k.

• 3) Se a ordem importa e usa todos → permutação. Se a ordem importa e usa k → arranjo. Se a ordem não importa e usa k → combinação.

Contagem com repetição: quando o elemento pode aparecer mais de uma vez

Arranjo com repetição (ordem importa, pode repetir)

Se há n opções para cada uma das k posições, com repetição permitida:

n^k

Exemplo: senha de 4 dígitos (0 a 9), com repetição: 10⁴.

Permutação com repetição (há elementos iguais)

Quando você ordena n itens, mas alguns são indistinguíveis (repetidos). Se há n itens no total e repetições de tamanhos a, b, c..., então:

n! / (a! b! c! ...)

Exemplo: anagramas de “IBGE” (4 letras, com repetição? não). Já “DADOS” tem 5 letras com D repetido 2 vezes: 5!/2! = 60.

Combinação com repetição (ordem não importa, pode repetir)

Escolher k itens dentre n tipos, permitindo repetição (ex.: escolher k materiais dentre n categorias, podendo repetir categoria). Fórmula:

C(n+k-1, k)

Exemplo: escolher 4 itens de 3 tipos (A, B, C), podendo repetir: C(3+4-1,4)=C(6,4)=15.

Exercícios (análise combinatória) graduados com comentários

Exercício 4 (básico, princípio multiplicativo)

Um formulário interno exige selecionar 1 entre 6 opções de setor e 1 entre 4 opções de turno. Quantas combinações possíveis existem?

Comentário: duas etapas independentes (“setor” e “turno”) → multiplicação: 6×4.

Exercício 5 (básico, arranjo vs combinação)

De 12 candidatos, serão escolhidos 2 para ocupar os cargos de coordenador e substituto. De quantas formas isso pode ser feito?

Comentário: cargos diferentes → ordem importa → arranjo A(12,2).

Exercício 6 (médio, combinação)

Uma equipe de campo será formada por 5 pessoas dentre 18 disponíveis. Quantas equipes distintas podem ser formadas?

Comentário: equipe não tem posições → ordem não importa → combinação C(18,5).

Exercício 7 (médio, permutação com repetição)

Quantos anagramas distintos podem ser formados com a palavra “CENSO”?

Comentário: todas as letras são distintas → é permutação simples 5!. Se houvesse letras repetidas, usaria n!/(a!b!...).

Exercício 8 (médio, arranjo com repetição)

Uma senha é formada por 3 letras (A-Z) seguidas de 2 dígitos (0-9), com repetição permitida. Quantas senhas existem?

Comentário: posições independentes com repetição → 26³×10².

Exercício 9 (avançado, restrição por casos)

Quantas senhas de 4 dígitos (0-9), com repetição permitida, possuem pelo menos um dígito 0?

Comentário: “pelo menos um” costuma ser mais fácil por complementar: total 10⁴ menos as que não têm zero (9⁴).

Exercício 10 (avançado, mistura de técnicas)

Uma comissão terá 4 membros escolhidos entre 9 pessoas, e depois serão definidos presidente e secretário dentre os 4 escolhidos. Quantas possibilidades existem?

Comentário: primeiro escolhe a comissão (combinação C(9,4)), depois define cargos (arranjo A(4,2)). Multiplique as etapas: C(9,4)×A(4,2).

Erros comuns e como evitá-los (foco em prova)

• Confundir “exatamente um” com “pelo menos um”: “pelo menos um” é união; “exatamente um” exclui interseções.

• Somar grupos sem corrigir sobreposição: sempre pergunte se alguém pode estar em mais de um grupo; se sim, pense em inclusão-exclusão.

• Em combinatória, errar se a ordem importa: cargos, posições, ranking, senha e código → ordem importa; equipe, grupo, seleção → geralmente não.

• Ignorar restrições: “sem repetição”, “com repetição”, “pelo menos um”, “no máximo um” mudam a técnica. Reescreva a condição em linguagem de conjuntos ou em casos.