Operações fundamentais e ordem de prioridade
Em provas, erros comuns surgem por falta de atenção à ordem das operações e ao uso de parênteses. A prioridade padrão é: (1) parênteses/colchetes/chaves, (2) potências e raízes, (3) multiplicação e divisão (da esquerda para a direita), (4) adição e subtração (da esquerda para a direita).
Passo a passo: calculando expressões
Exemplo: 120 − 3 × (8 + 12) ÷ 5
- 1) Parênteses: (8 + 12) = 20
- 2) Multiplicação e divisão, da esquerda para a direita: 3 × 20 = 60; 60 ÷ 5 = 12
- 3) Subtração: 120 − 12 = 108
Checagem rápida: como 3×(8+12)=60 e dividir por 5 reduz para 12, faz sentido que o resultado fique próximo de 120.
Aplicação orientada a dados: total a partir de partes
Um município tem 120.000 habitantes. Em um levantamento, 3 em cada 5 residem na zona urbana. Quantos estão na zona rural?
- Urbana: (3/5) × 120.000 = 72.000
- Rural: 120.000 − 72.000 = 48.000
Frações: leitura, operações e simplificação
Frações representam partes de um todo e aparecem em taxas, proporções e médias ponderadas. Simplificar antes de operar reduz erros.
Continue em nosso aplicativo
Você poderá ouvir o audiobook com a tela desligada, ganhar gratuitamente o certificado deste curso e ainda ter acesso a outros 5.000 cursos online gratuitos.
ou continue lendo abaixo...
Baixar o aplicativo
Simplificação
Exemplo: 18/24. Divida numerador e denominador pelo máximo divisor comum (MDC), que é 6: 18/24 = (18÷6)/(24÷6) = 3/4.
Adição e subtração
Regra: igualar denominadores (MMC) e somar/subtrair numeradores.
Exemplo: 2/3 + 1/6
- MMC(3,6)=6
- 2/3 = 4/6
- 4/6 + 1/6 = 5/6
Multiplicação e divisão
Multiplicação: multiplica numeradores e denominadores (simplifique cruzado quando possível). Divisão: multiplica pela fração inversa.
Exemplo (multiplicação): (3/8) × (16/5)
- Simplifique: 16/8 = 2
- Fica: 3 × 2 / 5 = 6/5 = 1,2
Exemplo (divisão): (5/6) ÷ (10/9) = (5/6) × (9/10)
- Simplifique: 5/10 = 1/2
- Fica: (1/6) × 9/2 = 9/12 = 3/4
Aplicação orientada a dados: taxa como fração
Em uma amostra de 240 domicílios, 3/8 possuem acesso a esgoto. Quantos domicílios são?
- 240 × 3/8 = (240÷8)×3 = 30×3 = 90
Razão e proporção
Razão compara grandezas por divisão (a:b = a/b). Proporção é a igualdade entre duas razões (a/b = c/d). Em dados, razão aparece em densidade, taxas por mil, indicadores por área etc.
Passo a passo: resolvendo proporções
Exemplo: Se 4 mapas cobrem 60 km², quantos mapas cobrem 150 km², mantendo a mesma cobertura por mapa?
- Proporção direta: 4/60 = x/150
- Multiplicação cruzada: 4×150 = 60×x
- 600 = 60x
- x = 10
Checagem: 150 é 2,5 vezes 60; então 4×2,5 = 10.
Aplicação orientada a dados: densidade demográfica
Densidade = população/área. Se uma região tem 1.200.000 habitantes e área de 15.000 km²:
- Densidade = 1.200.000 ÷ 15.000 = 80 hab/km²
Checagem: 15.000×80 = 1.200.000.
Regra de três simples (direta e inversa)
Regra de três simples resolve problemas com duas grandezas relacionadas por proporcionalidade. Direta: ambas aumentam/diminuem juntas. Inversa: uma aumenta enquanto a outra diminui.
Direta: passo a passo
Exemplo: Se 5 recenseadores visitam 400 domicílios em 8 dias, quantos domicílios 7 recenseadores visitam em 8 dias, mantendo produtividade?
- Grandezas: recenseadores e domicílios (direta), dias fixos
- 5 → 400
- 7 → x
- x = 400×7/5 = 560
Inversa: passo a passo
Exemplo: Uma equipe leva 12 dias para concluir um setor com 6 agentes. Em quantos dias 8 agentes concluem o mesmo setor?
- Agentes e dias (inversa): mais agentes, menos dias
- 6 → 12
- 8 → x
- 6×12 = 8×x
- 72 = 8x
- x = 9
Checagem: aumentar de 6 para 8 é multiplicar por 4/3; então o tempo deve multiplicar por 3/4: 12×3/4 = 9.
Regra de três composta
Usada quando há três ou mais grandezas. A técnica prática é: (1) identificar a grandeza que se quer achar, (2) comparar cada grandeza com a referência e decidir se é direta ou inversa, (3) montar o produto das razões.
Passo a passo com produtividade
Exemplo: 4 agentes, trabalhando 6 horas por dia, concluem 1.200 entrevistas em 5 dias. Quantas entrevistas 6 agentes concluem trabalhando 7 horas por dia em 4 dias, com mesma produtividade por agente-hora?
- Referência: 1.200 entrevistas
- Agentes: 4 → 6 (direta)
- Horas/dia: 6 → 7 (direta)
- Dias: 5 → 4 (direta)
- x = 1.200 × (6/4) × (7/6) × (4/5)
- Simplifique: (6/4) = 3/2; (7/6) mantém; (4/5) mantém
- x = 1.200 × (3/2) × (7/6) × (4/5)
- Corte: 1.200/6 = 200
- x = 200 × 3/2 × 7 × 4/5
- 200×3/2 = 300
- 300×7 = 2.100
- 2.100×4/5 = 1.680
Checagem: aumentou equipe (×1,5) e horas (×1,166...), mas reduziu dias (×0,8). Fator total ≈ 1,5×1,166×0,8 ≈ 1,4. 1.200×1,4 ≈ 1.680.
Porcentagem
Porcentagem é uma razão com denominador 100. Converter entre fração, decimal e porcentagem é essencial para taxas e variações.
Conversões rápidas
- p% = p/100
- 0,25 = 25%
- 3/4 = 0,75 = 75%
Passo a passo: porcentagem de um total
Exemplo: 18% de 2.500 domicílios.
- 18% = 0,18
- 0,18×2.500 = 450
Passo a passo: encontrar o total a partir de uma parte
Exemplo: 360 pessoas representam 12% da população de um distrito. Qual é a população?
- 12% = 0,12
- 360 = 0,12×T
- T = 360/0,12 = 3.000
Aplicação orientada a dados: taxa por mil
Uma taxa de 15 por mil significa 15/1.000 = 1,5%. Se uma cidade tem 80.000 habitantes e a taxa é 15 por mil, o número esperado de ocorrências é:
- 80.000 × 15/1.000 = 80×15 = 1.200
Médias (aritmética simples e ponderada)
Média resume dados. Em provas, atenção ao tipo de média e ao peso de cada valor.
Média aritmética simples
Exemplo: Produção diária de entrevistas: 18, 22, 20, 25, 15. Média = (18+22+20+25+15)/5 = 100/5 = 20.
Média ponderada
Usada quando cada valor tem um peso (frequência, importância, quantidade).
Exemplo: Em 3 setores, a densidade (hab/km²) é 50, 80 e 100, com áreas 10 km², 5 km² e 15 km². Densidade média da região total (ponderada pela área):
- População total = 50×10 + 80×5 + 100×15 = 500 + 400 + 1.500 = 2.400
- Área total = 10 + 5 + 15 = 30
- Densidade média = 2.400/30 = 80 hab/km²
Checagem: o maior peso (15 km²) está no valor 100, puxando a média para cima; mas há 10 km² com 50 puxando para baixo, resultando em 80.
Variação percentual e crescimento
Variação percentual mede quanto um valor mudou em relação ao valor inicial: variação% = (final − inicial)/inicial × 100.
Passo a passo: aumento e redução
Exemplo (aumento): População passou de 48.000 para 54.000.
- Diferença: 54.000 − 48.000 = 6.000
- Variação%: 6.000/48.000 × 100 = 0,125×100 = 12,5%
Exemplo (redução): Taxa caiu de 20% para 15%.
- Diferença: 15 − 20 = −5 (pontos percentuais)
- Variação relativa: (15−20)/20 ×100 = −25%
Atenção: “caiu 5 pontos percentuais” é diferente de “caiu 25%”.
Crescimento composto (índice multiplicativo)
Quando há crescimento sucessivo, multiplica-se pelos fatores. Se cresce 10% e depois 20%:
- Fator total = 1,10×1,20 = 1,32
- Equivale a 32% de aumento, não 30%
Aplicação orientada a dados: projeção simples
Uma população de 200.000 cresce 3% ao ano por 2 anos (crescimento composto):
- Após 1 ano: 200.000×1,03 = 206.000
- Após 2 anos: 206.000×1,03 = 212.180
- Ou direto: 200.000×(1,03)² = 200.000×1,0609 = 212.180
Escalas (mapas) e proporcionalidade
Escala relaciona distância no mapa e distância real. Escala 1:n significa 1 unidade no mapa corresponde a n unidades reais (na mesma unidade).
Passo a passo: distância real
Exemplo: Em um mapa na escala 1:50.000, a distância entre dois pontos é 3,2 cm. Qual a distância real em km?
- 1 cm no mapa = 50.000 cm reais
- 3,2 cm → 3,2×50.000 = 160.000 cm
- Converter: 100.000 cm = 1 km
- 160.000 cm = 1,6 km
Passo a passo: distância no mapa
Exemplo: Escala 1:25.000. Distância real 5 km. Qual distância no mapa (em cm)?
- 5 km = 5×100.000 cm = 500.000 cm
- Distância no mapa = 500.000/25.000 = 20 cm
Unidades e conversões (comprimento, área, volume e tempo)
Conversões aparecem em escalas, densidade, produtividade e taxas. O ponto crítico é lembrar que área e volume elevam o fator de conversão ao quadrado ou ao cubo.
Comprimento
- 1 km = 1.000 m
- 1 m = 100 cm
- 1 km = 100.000 cm
Área
- 1 km² = (1.000 m)² = 1.000.000 m²
- 1 ha = 10.000 m²
- 1 km² = 100 ha
Tempo e produtividade
- 1 hora = 60 minutos
- Se uma taxa é “entrevistas por hora”, multiplicar por horas dá o total
Aplicação orientada a dados: densidade por km² com área em hectares
Uma área de 2.500 ha tem 75.000 habitantes. Densidade em hab/km²:
- Converter área: 1 km² = 100 ha → 2.500 ha = 25 km²
- Densidade = 75.000/25 = 3.000 hab/km²
Questões estilo prova (com resolução passo a passo e checagem)
Questão 1 (operações e frações)
Calcule: (3/4) − (2/5) + (1/2).
Resolução
- MMC(4,5,2) = 20
- 3/4 = 15/20; 2/5 = 8/20; 1/2 = 10/20
- 15/20 − 8/20 + 10/20 = (15 − 8 + 10)/20 = 17/20
Checagem: 3/4=0,75; 2/5=0,4; 1/2=0,5. 0,75−0,4+0,5=0,85. 17/20=0,85.
Questão 2 (razão e densidade)
Um município A tem 360.000 habitantes e área de 4.000 km². Um município B tem densidade 20% maior que a de A e área de 3.000 km². Qual a população de B?
Resolução
- Densidade de A: 360.000/4.000 = 90 hab/km²
- Densidade de B: 90×1,20 = 108 hab/km²
- População de B: 108×3.000 = 324.000
Checagem: B tem área menor (3.000 vs 4.000), mas densidade maior (108 vs 90). População 324.000 é menor que 360.000, coerente.
Questão 3 (regra de três simples inversa)
Para concluir uma tarefa de campo, 9 agentes levam 10 dias. Quantos dias levarão 6 agentes, mantendo o mesmo ritmo de trabalho?
Resolução
- Agentes e dias são inversamente proporcionais
- 9×10 = 6×x
- 90 = 6x
- x = 15 dias
Checagem: reduzir agentes de 9 para 6 é multiplicar por 2/3; o tempo deve multiplicar por 3/2: 10×1,5 = 15.
Questão 4 (regra de três composta)
Em um projeto, 5 equipes, trabalhando 8 horas por dia, produzem 2.400 registros em 6 dias. Quantos registros 4 equipes produzirão trabalhando 6 horas por dia em 10 dias?
Resolução
- x = 2.400 × (4/5) × (6/8) × (10/6)
- Simplifique: (6/8)=3/4
- x = 2.400 × (4/5) × (3/4) × (10/6)
- Corte: (4) com (4) → 1
- x = 2.400 × (3/5) × (10/6)
- Simplifique: 10/5 = 2
- x = 2.400 × 3 × 2 / 6
- 2.400/6 = 400
- x = 400×3×2 = 2.400
Checagem: menos equipes e menos horas reduzem, mas mais dias aumentam. O resultado igual ao original é plausível se os fatores se compensarem.
Questão 5 (porcentagem e variação percentual)
O número de domicílios com internet passou de 18.000 para 22.500. Qual foi a variação percentual?
Resolução
- Variação absoluta: 22.500 − 18.000 = 4.500
- Variação%: 4.500/18.000 × 100
- 4.500/18.000 = 0,25
- Variação% = 25%
Checagem: 25% de 18.000 é 4.500; soma dá 22.500.
Questão 6 (média ponderada e conversão de área)
Uma região tem dois setores: Setor 1 com área 12 km² e densidade 150 hab/km²; Setor 2 com área 800 ha e densidade 100 hab/km². Calcule a densidade média da região.
Resolução
- Converter 800 ha para km²: 1 km² = 100 ha → 800 ha = 8 km²
- População do Setor 1: 150×12 = 1.800
- População do Setor 2: 100×8 = 800
- População total: 2.600
- Área total: 12 + 8 = 20 km²
- Densidade média: 2.600/20 = 130 hab/km²
Checagem: a média deve ficar entre 100 e 150; 130 está no intervalo e mais próxima de 150 porque o setor de 150 tem área maior (12 vs 8).
