Raciocínio Lógico e Matemática Básica para Agente de Polícia Civil

Este capítulo foca nos tópicos mais recorrentes de Raciocínio Lógico e Matemática Básica em concursos para Agente de Polícia Civil, com progressão de dificuldade e ênfase em evitar erros por distração. A ideia é dominar o “vocabulário” lógico, automatizar técnicas e treinar interpretação de enunciados.

1) Proposições e valor lógico

Proposição é uma frase declarativa que pode ser classificada como verdadeira (V) ou falsa (F). Perguntas, ordens e frases ambíguas não são proposições.

Exemplos

• “Brasília é a capital do Brasil.” (proposição; V)
• “2 + 2 = 5.” (proposição; F)
• “Feche a porta.” (não é proposição)
• “Você vai ao cinema?” (não é proposição)

Checklist rápido

• É uma frase declarativa?
• Dá para atribuir V ou F sem ambiguidade?

2) Conectivos lógicos (operadores) e leitura correta

Conectivos unem proposições e formam proposições compostas. Em prova, muitos erros vêm de interpretar “ou” e “se... então...” de forma intuitiva, e não lógica.

Principais conectivos

• Negação: ¬p (lê-se “não p”).
• Conjunção: p ∧ q (lê-se “p e q”).
• Disjunção inclusiva: p ∨ q (lê-se “p ou q”, podendo ser ambos).
• Condicional: p → q (lê-se “se p, então q”).
• Bicondicional: p ↔ q (lê-se “p se e somente se q”).

Exemplo de tradução (linguagem natural → lógica)

Frase: “Se o suspeito estava no local, então há registro de câmera.”

• p: “O suspeito estava no local.”
• q: “Há registro de câmera.”
• Forma: p → q

3) Tabelas-verdade: como montar sem se perder

Tabela-verdade é o método mais seguro para avaliar proposições compostas. Para duas proposições (p e q), existem 4 combinações possíveis.

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Tabela base (p, q)

p  q  (combinações possíveis)  ->  VV, VF, FV, FF

Conjunção (p ∧ q)

Verdadeira apenas quando ambas são verdadeiras.

p  q | p ∧ q  | motivo rápido (E = exige as duas V)    VV |   V    VF |   F    FV |   F    FF |   F

Disjunção inclusiva (p ∨ q)

Falsa apenas quando ambas são falsas.

p  q | p ∨ q  | motivo rápido (OU = basta uma V)    VV |   V    VF |   V    FV |   V    FF |   F

Condicional (p → q)

Regra prática: só é falsa quando p é V e q é F. Nos demais casos, é verdadeira.

p  q | p → q  | regra (F apenas em V→F)    VV |   V    VF |   F    FV |   V    FF |   V

Bicondicional (p ↔ q)

Verdadeira quando p e q têm o mesmo valor lógico.

p  q | p ↔ q  | regra (igual = V; diferente = F)    VV |   V    VF |   F    FV |   F    FF |   V

4) Equivalências lógicas e negações (atalhos que caem muito)

Equivalências permitem transformar expressões sem mudar o valor lógico. Isso acelera questões de simplificação e negação de frases.

Leis de De Morgan (negação de “E” e “OU”)

• ¬(p ∧ q) ≡ (¬p ∨ ¬q)
• ¬(p ∨ q) ≡ (¬p ∧ ¬q)

Negação do condicional

Um ponto clássico: negar “se p, então q” não vira “se não p, então não q”. A negação correta é:

• ¬(p → q) ≡ (p ∧ ¬q)

Equivalência do condicional (forma “ou”)

• (p → q) ≡ (¬p ∨ q)

Exemplo resolvido: negar uma afirmação composta

Negue: “Se o candidato estudou, então ele foi aprovado.”

• p: “O candidato estudou”
• q: “Ele foi aprovado”
• Frase: p → q
• Nega: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
• Em português: “O candidato estudou e não foi aprovado.”

Exemplo resolvido: De Morgan na prática

Negue: “O agente preencheu o relatório e anexou as fotos.”

• p: “Preencheu o relatório”
• q: “Anexou as fotos”
• Frase: p ∧ q
• Nega: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q
• Em português: “O agente não preencheu o relatório ou não anexou as fotos.”

Lista graduada (equivalências e negações)

• Nível 1: Negar “p e q”; negar “p ou q”.
• Nível 2: Negar “se p, então q”; reescrever p → q como ¬p ∨ q.
• Nível 3: Negar expressões com parênteses: ¬(p ∨ (q ∧ r)).

5) Conjuntos: operações e leitura de problemas

Conjuntos aparecem em questões de contagem, diagramas e interpretação. O foco é reconhecer operações e traduzir o texto para símbolos.

Conceitos essenciais

• Elemento: x ∈ A (x pertence a A).
• Subconjunto: A ⊆ B (todo elemento de A está em B).
• União: A ∪ B (elementos que estão em A ou em B).
• Interseção: A ∩ B (elementos que estão em A e em B).
• Diferença: A \ B (elementos de A que não estão em B).
• Complementar: Aᶜ (elementos fora de A, dentro do universo U).

Fórmula de contagem (dois conjuntos)

Quando o problema pede “quantos estão em A ou B”, use:

|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|

Exemplo resolvido (dois conjuntos)

Em um grupo de 80 pessoas, 50 gostam de café (C), 35 gostam de chá (T) e 20 gostam de ambos. Quantas gostam de café ou chá?

• Dados: |C|=50, |T|=35, |C ∩ T|=20
• Aplicando: |C ∪ T| = 50 + 35 − 20 = 65
• Resposta: 65

Passo a passo prático (problemas com conjuntos)

• Defina o universo (total).
• Nomeie os conjuntos (A, B, C) e traduza “e”, “ou”, “apenas”.
• Se houver “ou”, pense em união; se houver “e”, pense em interseção.
• Use a fórmula |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| quando for “A ou B”.
• Se pedir “nenhum”, faça: total − |A ∪ B|.

Lista graduada (conjuntos)

• Nível 1: Identificar união/interseção em frases curtas.
• Nível 2: Aplicar |A ∪ B| com “nenhum” e “apenas”.
• Nível 3: Três conjuntos (A, B, C) com diagrama e dados parciais.

6) Porcentagem: dominar conversões e variações

Porcentagem é uma razão com base 100. O essencial é converter corretamente e entender aumento/desconto sucessivos.

Conversões rápidas

• x% = x/100
• 12% = 0,12
• 0,35 = 35%

Exemplo resolvido (porcentagem de um valor)

Calcule 18% de 250.

• 18% = 0,18
• 0,18 × 250 = 45
• Resposta: 45

Exemplo resolvido (aumento e desconto)

Um valor de R$ 400 sofre aumento de 10% e depois desconto de 10%. Volta ao valor inicial?

• Aumento: 400 × 1,10 = 440
• Desconto: 440 × 0,90 = 396
• Não volta: fica R$ 396 (efeito de base diferente).

Passo a passo prático (questões de variação percentual)

• Transforme aumento em multiplicador: +a% → (1 + a/100).
• Transforme desconto em multiplicador: −a% → (1 − a/100).
• Em sequências, multiplique os fatores na ordem.
• Para “qual percentual final?”, compare final/inicial.

Lista graduada (porcentagem)

• Nível 1: Calcular x% de y.
• Nível 2: Encontrar o todo a partir de uma parte (ex.: 30 é 12% de quanto?).
• Nível 3: Aumentos/descontos sucessivos e comparação de preços.

7) Razão e proporção: leitura e montagem correta

Razão é uma comparação por divisão (a/b). Proporção é a igualdade entre duas razões: a/b = c/d.

Exemplo resolvido (proporção direta)

Se 3 cadernos custam R$ 27, quanto custam 5 cadernos (mesmo preço unitário)?

• Preço unitário: 27/3 = 9
• Para 5: 5 × 9 = 45
• Resposta: R$ 45

Exemplo resolvido (proporção inversa)

Se 6 pessoas fazem um trabalho em 10 dias, em quantos dias 12 pessoas fazem o mesmo trabalho (mesma produtividade)?

• Mais pessoas → menos dias (inversamente proporcional).
• Produto constante: pessoas × dias
• 6 × 10 = 12 × d
• d = 60/12 = 5
• Resposta: 5 dias

Passo a passo prático (direta vs inversa)

• Identifique as grandezas (ex.: pessoas e dias).
• Pergunte: quando uma aumenta, a outra aumenta (direta) ou diminui (inversa)?
• Direta: a/b = c/d (mantém a razão).
• Inversa: a×b = c×d (mantém o produto).

8) Regra de três (simples e composta)

Regra de três é um método para resolver proporções. O segredo é organizar as grandezas e decidir se são diretas ou inversas.

Regra de três simples (direta) — exemplo resolvido

Se 8 horas de estudo rendem 120 questões resolvidas, quantas questões em 5 horas (mesmo ritmo)?

• Direta: mais horas → mais questões.
• Monte: 8 → 120; 5 → x
• x = 120 × 5 / 8 = 75
• Resposta: 75 questões

Regra de três simples (inversa) — exemplo resolvido

Um trajeto é feito em 4 horas a 60 km/h. Em quanto tempo a 80 km/h (mesma distância)?

• Inversa: maior velocidade → menor tempo.
• Distância: 60×4 = 240 km
• Tempo: 240/80 = 3
• Resposta: 3 horas

Regra de três composta — exemplo resolvido

Uma equipe com 4 pessoas conclui 180 registros em 6 horas. Quantos registros 6 pessoas concluem em 8 horas, no mesmo ritmo?

• Registros são diretamente proporcionais a pessoas e a horas.
• Fator pessoas: 6/4 = 1,5
• Fator horas: 8/6 = 1,333...
• Multiplica: 180 × 1,5 × (8/6) = 180 × 1,5 × 1,333... = 360
• Resposta: 360 registros

Passo a passo prático (regra de três composta)

• Liste as grandezas em uma tabela (pessoas, horas, produção).
• Defina se cada grandeza é direta ou inversa em relação ao que se pede.
• Monte fatores (novo/antigo) para as diretas e (antigo/novo) para as inversas.
• Multiplique o valor base pelos fatores.
• Confirme se o resultado faz sentido (estimativa).

9) Bloco específico: leitura de enunciados e identificação do que está sendo pedido (anti-distração)

Muitos erros em provas de exatas vêm de leitura apressada. Treine um protocolo curto para reduzir falhas.

Protocolo de 6 passos

• 1) Reescreva o pedido: “A questão quer: ______”.
• 2) Circule unidades: %, R$, km/h, dias, pessoas, itens.
• 3) Liste dados em linha: (D1=...), (D2=...), (D3=...).
• 4) Identifique palavras-gatilho: “apenas”, “no máximo”, “pelo menos”, “exceto”, “ou”, “e”, “se... então...”.
• 5) Faça uma estimativa: ordem de grandeza para checar absurdo.
• 6) Revise o sinal e a base: aumento/desconto, inversa/direta, união/interseção.

Exemplo guiado (identificando o pedido)

Enunciado: “Em uma turma, 28% faltaram. Se a turma tem 50 alunos, quantos compareceram?”

• Pedido: “quantos compareceram” (não é “quantos faltaram”).
• Dados: 28% faltaram; total 50.
• Compareceram = 72% de 50 = 0,72×50 = 36.

Erros comuns e como evitar

• Confundir “ou” com “e”: em conjuntos, “ou” tende a ser união; “e” interseção.
• Negar condicional errado: ¬(p→q) é p∧¬q.
• Aplicar 10% e depois −10% como “zera”: bases mudam.
• Regra de três inversa montada como direta: verifique se uma grandeza sobe enquanto a outra desce.

10) Problemas com interpretação: modelos recorrentes

Aqui o foco é traduzir texto para relações matemáticas/lógicas e resolver com método. Treine primeiro a modelagem, depois a conta.

Modelo 1: “parte de um todo” (porcentagem + leitura)

“De 200 candidatos, 15% foram eliminados na primeira fase. Quantos seguiram?”

• Eliminados: 0,15×200 = 30
• Seguiram: 200 − 30 = 170

Modelo 2: “taxa por unidade” (razão)

“Um veículo percorre 150 km com 10 litros. Quantos km por litro?”

• Razão: 150/10 = 15 km/L

Modelo 3: “duas condições” (lógica proposicional)

Considere: p = “o candidato atingiu a nota mínima”; q = “o candidato entregou a documentação”. Regra: “O candidato será convocado se e somente se atingir a nota mínima e entregar a documentação.”

• Forma: convocado ↔ (p ∧ q)
• Interpretação: convocado ocorre exatamente quando as duas condições são atendidas.

Lista graduada (interpretação de problemas)

• Nível 1: Problemas de porcentagem direta e regra de três simples com uma frase-chave.
• Nível 2: Problemas com duas etapas (ex.: porcentagem + subtração; aumento + desconto).
• Nível 3: Mistos (conjuntos + porcentagem; regra de três composta + leitura de inversa/direta).

11) Exercícios resolvidos (seleção) com dificuldade crescente

Exercício 1 (lógica — negação)

Negue: “O candidato estudou e foi aprovado.”

• p: estudou; q: aprovado
• Frase: p ∧ q
• Nega: ¬p ∨ ¬q
• Resposta: “O candidato não estudou ou não foi aprovado.”

Exercício 2 (lógica — condicional)

Considere verdadeira a afirmação: “Se chove, então a rua molha.” Qual caso torna essa afirmação falsa?

• p: chove; q: rua molha
• p → q é falsa apenas quando p=V e q=F
• Resposta: “Chove e a rua não molha.”

Exercício 3 (conjuntos — união)

Em 120 pessoas, 70 falam inglês (I), 50 falam espanhol (E) e 30 falam ambos. Quantas falam pelo menos um dos idiomas?

• |I ∪ E| = 70 + 50 − 30 = 90
• Resposta: 90

Exercício 4 (porcentagem — encontrar o todo)

Se 45 corresponde a 15% de um valor, qual é o valor total?

• 45 = 0,15×T
• T = 45/0,15 = 300
• Resposta: 300

Exercício 5 (regra de três composta)

Uma equipe de 5 pessoas revisa 300 páginas em 4 dias. Quantas páginas 8 pessoas revisam em 6 dias (mesmo ritmo)?

• Direta com pessoas e dias.
• Fator pessoas: 8/5
• Fator dias: 6/4
• Páginas: 300 × (8/5) × (6/4) = 300 × 1,6 × 1,5 = 720
• Resposta: 720 páginas

Exercício 6 (interpretação — atenção ao pedido)

Um produto custa R$ 200. Sofre desconto de 20% e depois aumento de 10%. Qual o preço final?

• Desconto: 200×0,80 = 160
• Aumento: 160×1,10 = 176
• Resposta: R$ 176

12) Mini-roteiro de treino (para fixação e velocidade)

• Diariamente (10–15 min): 5 negações (De Morgan e condicional) + 5 tabelas-verdade curtas.
• Alternando dias (15–20 min): 10 questões de porcentagem/razão/proporção com checagem por estimativa.
• 2–3 vezes por semana (20–30 min): conjuntos e regra de três composta com foco em modelagem (montar antes de calcular).
• Em toda questão: aplicar o protocolo anti-distração (pedido, dados, gatilhos, estimativa, revisão).