Proporcionalidade, Porcentagem e Regra de Três

Proporcionalidade: ideia central e como identificar

Proporcionalidade aparece quando duas grandezas variam de forma relacionada. Em provas, a dificuldade costuma estar em reconhecer se a relação é direta ou inversa e montar a comparação corretamente.

Grandezas diretamente proporcionais

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, ao aumentar uma, a outra aumenta na mesma “tendência” (e ao diminuir uma, a outra diminui). O quociente entre elas fica constante.

• Exemplos típicos: quantidade comprada e preço total (com preço unitário fixo), horas trabalhadas e salário (com valor/hora fixo), distância e tempo (com velocidade constante).

Teste rápido: se uma grandeza dobra, a outra também dobra (mantidas as condições).

Grandezas inversamente proporcionais

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, ao aumentar uma, a outra diminui, de modo que o produto entre elas fica constante.

• Exemplos típicos: número de trabalhadores e tempo para concluir uma tarefa (mesma produtividade), velocidade e tempo para percorrer a mesma distância.

Teste rápido: se uma grandeza dobra, a outra cai pela metade (mantidas as condições).

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Exemplo prático (proporcionalidade direta)

Se 5 litros de combustível custam R$ 32,50, quanto custam 8 litros (mesmo preço por litro)?

Como é compra com preço unitário fixo, é relação direta: mais litros, mais custo.

5 L  →  32,50 R$  (dividir para achar 1 L) 32,50 / 5 = 6,50 R$/L  (multiplicar por 8) 6,50 × 8 = 52,00 R$

Exemplo prático (proporcionalidade inversa)

Uma equipe com 6 policiais conclui uma atividade em 10 horas. Mantendo o mesmo ritmo, quanto tempo levariam 12 policiais?

Mais pessoas, menos tempo: relação inversa. Produto constante:

6 × 10 = 60 (policiais·hora) 12 × t = 60 t = 60 / 12 = 5 horas

Porcentagem: leitura, conversão e operações mais cobradas

Porcentagem é uma forma de representar uma razão com base 100. Em concursos, cai muito em descontos, acréscimos, variações sucessivas e comparação entre valores.

Conversões essenciais

• x% = x/100
• 12% = 0,12
• 0,35 = 35%
• 3/4 = 0,75 = 75%

Cálculo direto de porcentagem (passo a passo)

Problema: Calcular 18% de 250.

1) Transforme 18% em decimal: 18% = 0,18 2) Multiplique: 0,18 × 250 = 45

Atalho comum: 10% de 250 é 25; 8% é 20; somando dá 45.

Desconto e acréscimo (fator multiplicativo)

Uma forma rápida e segura é usar o fator:

• Acréscimo de p%: multiplicar por (1 + p/100)
• Desconto de p%: multiplicar por (1 − p/100)

Exemplo (desconto): Um item de R$ 180 com 15% de desconto.

Fator = 1 − 0,15 = 0,85 Valor final = 180 × 0,85 = 153

Exemplo (acréscimo): Uma taxa de R$ 240 com acréscimo de 12%.

Fator = 1 + 0,12 = 1,12 Valor final = 240 × 1,12 = 268,80

Variações sucessivas (não somar percentuais)

Quando há mais de uma alteração percentual em sequência, você aplica fatores em cadeia. Não é correto somar os percentuais como se fosse uma única mudança.

Exemplo: Um valor sofre aumento de 10% e depois desconto de 10%. Volta ao valor inicial?

Valor inicial = V Após +10%: V × 1,10 Após −10%: (V × 1,10) × 0,90 = V × 0,99

Resultado: fica 1% menor que o inicial.

Encontrar o valor original (porcentagem inversa)

Problema: Após um desconto de 20%, o preço ficou R$ 160. Qual era o preço antes do desconto?

1) Desconto de 20% → fator 0,80 2) Preço final = Preço inicial × 0,80 3) Preço inicial = 160 / 0,80 = 200

Regra de Três: montagem correta e passo a passo

Regra de três é um método para resolver problemas de proporcionalidade usando uma tabela com grandezas e valores. O ponto-chave é decidir se a relação é direta ou inversa e alinhar as unidades.

Regra de Três Simples (direta) — passo a passo

Problema: Se 4 cadernos custam R$ 56, quanto custam 7 cadernos?

1) Monte a tabela (mesma grandeza na mesma linha/coluna): Cadernos: 4  →  7 Preço:    56 →  x 2) Identifique: mais cadernos → maior preço (direta) 3) Faça a proporção: 4/7 = 56/x 4) Multiplicação cruzada: 4x = 7 × 56 5) x = (7 × 56) / 4 = 98

Regra de Três Simples (inversa) — passo a passo

Problema: 8 pessoas fazem um serviço em 15 dias. Em quantos dias 12 pessoas fariam o mesmo serviço?

1) Tabela: Pessoas: 8  →  12 Dias:    15 →  x 2) Identifique: mais pessoas → menos dias (inversa) 3) Em inversa, use produto constante: 8 × 15 = 12 × x 4) 120 = 12x 5) x = 10 dias

Regra de Três Composta (quando há mais de duas grandezas)

Use quando o problema envolve três ou mais grandezas (por exemplo: pessoas, horas por dia, dias, produção). A técnica é comparar cada grandeza com a incógnita, definindo se é direta ou inversa.

Regra de Três Composta — passo a passo prático

Problema: 6 pessoas, trabalhando 5 horas por dia, concluem uma tarefa em 8 dias. Em quantos dias 10 pessoas, trabalhando 4 horas por dia, fariam a mesma tarefa?

Raciocínio: mais pessoas → menos dias (inversa). Mais horas por dia → menos dias (inversa). Como a tarefa é a mesma, a “capacidade de trabalho” é proporcional a (pessoas × horas/dia × dias).

1) Calcule o total de homem-hora do caso conhecido: 6 × 5 × 8 = 240 2) Monte a equação para o novo cenário: 10 × 4 × d = 240 3) Resolva: 40d = 240 d = 6 dias

Erros comuns em prova (e como evitar)

• Trocar direta por inversa: faça o teste “se uma dobra, a outra faz o quê?” antes de montar a conta.
• Misturar unidades: padronize (minutos com minutos, horas com horas; kg com g; R$ com R$).
• Somar percentuais em sequência: use fatores multiplicativos (1 ± p/100).
• Montar proporção invertida: mantenha a correspondência na tabela (colunas alinhadas) e só então faça a relação.

Checklist rápido para resolver questões

• Identifique as grandezas e o que está fixo (preço unitário, distância, tarefa, etc.).
• Decida: direta ou inversa (teste do “dobro”).
• Padronize unidades.
• Use fator de porcentagem quando houver aumento/desconto.
• Na regra de três: tabela bem alinhada e conta final com conferência de plausibilidade (se aumentou algo que deveria reduzir, o resultado tem que refletir isso).