Equações, Funções e Problemas Contextualizados

Equações: ideia central e como resolver

Equação é uma igualdade que envolve uma ou mais incógnitas (valores desconhecidos). Resolver uma equação significa encontrar o(s) valor(es) que tornam a igualdade verdadeira. Em provas, é comum aparecerem equações do 1º e do 2º grau, além de equações fracionárias e com radicais (com atenção às restrições de domínio).

Equação do 1º grau (linear)

Forma típica: ax + b = 0, com a ≠ 0. A estratégia é isolar o x com operações inversas, mantendo a igualdade.

Passo a passo prático (exemplo): resolver 3x − 7 = 11

• Somar 7 nos dois lados: 3x = 18
• Dividir por 3: x = 6
• Checagem rápida: 3·6 − 7 = 18 − 7 = 11 (ok)

Equações com parênteses e frações

Dois cuidados frequentes: (1) distribuir corretamente (propriedade distributiva) e (2) eliminar denominadores usando o MMC (mínimo múltiplo comum), multiplicando ambos os lados.

Passo a passo prático (exemplo): resolver (x − 2)/3 + (x + 1)/2 = 5

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• MMC de 3 e 2 é 6. Multiplicar toda a equação por 6: 2(x − 2) + 3(x + 1) = 30
• Distribuir: 2x − 4 + 3x + 3 = 30
• Somar termos semelhantes: 5x − 1 = 30
• Isolar x: 5x = 31 ⇒ x = 31/5

Equação do 2º grau (quadrática)

Forma típica: ax² + bx + c = 0, com a ≠ 0. Pode ser resolvida por fatoração (quando possível) ou pela fórmula de Bhaskara.

Passo a passo prático (Bhaskara): resolver x² − 5x + 6 = 0

• Identificar: a=1, b=−5, c=6
• Calcular o discriminante: Δ = b² − 4ac = (−5)² − 4·1·6 = 25 − 24 = 1
• Aplicar: x = (−b ± √Δ)/(2a) = (5 ± 1)/2
• Soluções: x = 3 e x = 2

Equações com radical: atenção ao domínio e à verificação

Ao elevar ambos os lados ao quadrado, podem surgir soluções extranhas. Por isso, é obrigatório verificar no final.

Passo a passo prático (exemplo): resolver √(x + 1) = x − 1

• Condição de existência: x + 1 ≥ 0 e x − 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1
• Elevar ao quadrado: x + 1 = (x − 1)² = x² − 2x + 1
• Levar tudo para um lado: 0 = x² − 3x ⇒ x(x − 3)=0
• Candidatos: x=0 ou x=3. Pelo domínio, só x=3
• Verificar: √(4)=2 e 3−1=2 (ok)

Funções: leitura, interpretação e aplicação

Função é uma regra que associa cada valor de entrada (x) a um único valor de saída (y). Em concursos, a habilidade-chave é interpretar a relação entre grandezas, identificar domínio e imagem, e trabalhar com funções afim (1º grau) e quadrática.

Notação e elementos

• f(x): valor da função quando a entrada é x
• Domínio: valores permitidos para x (ex.: não pode dividir por zero; radicando não pode ser negativo em raiz real)
• Imagem: conjunto de valores possíveis de y

Função afim (linear): f(x)=ax+b

Interpretação prática: a é a taxa de variação (inclinação) e b é o valor inicial (quando x=0). Em problemas, x costuma representar tempo, quantidade, distância, consumo, custo etc.

Exemplo aplicado: custo de uma corrida com taxa fixa de R$ 6 e R$ 2 por km. Modelagem: C(k)=2k+6. Para 8 km: C(8)=2·8+6=22.

Passo a passo prático para montar a função afim a partir de dois pontos: se você conhece (x1,y1) e (x2,y2), então

• Calcule a taxa: a = (y2 − y1)/(x2 − x1)
• Use y=ax+b em um ponto para achar b

Exemplo: um equipamento registra (t, T): (2, 30) e (6, 50). Então a=(50−30)/(6−2)=20/4=5. Logo T=5t+b. Usando t=2: 30=10+b ⇒ b=20. Função: T(t)=5t+20.

Função quadrática: f(x)=ax²+bx+c

Em interpretação, o sinal de a indica concavidade: a>0 abre para cima (mínimo), a<0 abre para baixo (máximo). Muitos itens cobram o ponto de máximo/mínimo (vértice) e as raízes (quando f(x)=0).

Vértice:

• xv = −b/(2a)
• yv = f(xv)

Exemplo: f(x)=−x²+6x−5. Então a=−1, b=6. xv=−6/(2·−1)=3. yv=f(3)=−9+18−5=4. Vértice (3,4), indicando valor máximo 4 quando x=3.

Domínio em funções com frações e raízes

Em questões objetivas, errar o domínio costuma derrubar a alternativa correta. Regras rápidas:

• Se há fração: denominador ≠ 0
• Se há raiz quadrada (em reais): radicando ≥ 0

Exemplo: f(x)= (x+2)/(x−4). Domínio: todos os reais, exceto x=4.

Exemplo: g(x)= √(2x−6). Domínio: 2x−6 ≥ 0 ⇒ x ≥ 3.

Problemas contextualizados: como transformar texto em equação ou função

Problemas contextualizados exigem três habilidades: (1) definir variáveis, (2) modelar a relação (equação ou função) e (3) interpretar o resultado no contexto (unidade, restrição, arredondamento quando fizer sentido).

Roteiro de resolução (aplicável na maioria das questões)

• 1) Identifique o que é pedido (qual variável você precisa encontrar).
• 2) Defina a incógnita com unidade (ex.: x = número de minutos; x = quantidade de itens).
• 3) Traduza as frases-chave para expressões matemáticas (ex.: “a mais” vira +; “a menos” vira −; “o dobro” vira 2·; “metade” vira /2).
• 4) Monte a equação/função e resolva com método adequado.
• 5) Verifique coerência: domínio, sinal, unidade, e se o valor faz sentido no cenário.

Problema 1: tarifa com franquia (função afim)

Enunciado-modelo: um serviço cobra R$ 30 de mensalidade e R$ 0,50 por mensagem enviada. Se o cliente pagou R$ 44, quanto enviou?

Modelagem: seja m o número de mensagens. C(m)=30+0,5m. Dado C=44:

30 + 0,5m = 44

Passo a passo:

• Subtrair 30: 0,5m = 14
• Dividir por 0,5: m = 28

Interpretação: 28 mensagens.

Problema 2: mistura de quantidades (equação do 1º grau)

Enunciado-modelo: para preparar uma solução, mistura-se um produto A e um produto B. A mistura final deve ter 10 litros. Se A é 2 litros a mais que B, quantos litros de cada?

Modelagem: seja B=x. Então A=x+2. Total: (x+2)+x=10.

2x + 2 = 10

Passo a passo:

• 2x = 8
• x = 4
• B=4 e A=6

Problema 3: movimento com relação linear (função e leitura de taxa)

Enunciado-modelo: um veículo percorre uma estrada mantendo velocidade constante de 60 km/h. A distância d (km) em função do tempo t (h) é d(t)=60t. Quantos km em 2,5 h?

Cálculo: d(2,5)=60·2,5=150 km.

Leitura importante: o coeficiente 60 é a taxa de variação (km por hora).

Problema 4: maximização/minimização (função quadrática)

Enunciado-modelo: a pontuação P de um treino é dada por P(x)=−x²+8x, onde x é o número de séries concluídas. Qual o número de séries que maximiza a pontuação?

Passo a passo:

• Identificar a<0 ⇒ há máximo no vértice
• xv=−b/(2a)=−8/(2·−1)=4
• P(4)=−16+32=16

Interpretação: a pontuação máxima ocorre com 4 séries.

Problema 5: equação com restrição (domínio e checagem)

Enunciado-modelo: um indicador é dado por I=√(x−2). Se I=3, qual é x?

Modelagem:

√(x − 2) = 3

Passo a passo:

• Condição: x−2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2
• Elevar ao quadrado: x−2=9
• x=11
• Checar: √(9)=3 (ok)

Erros comuns em prova e como evitar

• Trocar sinais ao “passar termo”: prefira somar/subtrair o mesmo valor nos dois lados, em vez de “passar”.
• Esquecer o MMC em equações com frações: elimine denominadores antes de expandir.
• Não verificar soluções em equações com raiz: sempre substitua no original.
• Ignorar domínio em funções racionais/irracionais: marque restrições antes de calcular.
• Confundir taxa e valor inicial em função afim: a é “por unidade”, b é “fixo”.