Matemática para CFN: Aritmética, Razões e Proporções

Números inteiros e racionais: operações e cuidados de prova

Inteiros (Z): sinais e ordem das operações

Em questões do CFN, erros comuns aparecem por falta de atenção a sinais e à ordem das operações. Inteiros incluem negativos, zero e positivos. Regras essenciais:

• Ordem das operações: parênteses/colchetes/chaves → potências/raízes → multiplicação e divisão (da esquerda para a direita) → adição e subtração (da esquerda para a direita).
• Sinais na multiplicação/divisão: sinais iguais → resultado positivo; sinais diferentes → resultado negativo.
• Subtração: subtrair é somar o oposto. Ex.: 7 − (−3) = 7 + 3.

Exemplo passo a passo: calcule −12 + 5 × (−3) − [8 − (−2)].

• 1) Parênteses: (−3) já está; (−2) já está.
• 2) Colchetes: 8 − (−2) = 8 + 2 = 10.
• 3) Multiplicação: 5 × (−3) = −15.
• 4) Soma/subtração: −12 + (−15) − 10 = −27 − 10 = −37.

Racionais (Q): frações e decimais como a mesma ideia

Número racional é todo número que pode ser escrito como fração a/b, com a e b inteiros e b ≠ 0. Decimais exatos (0,25) e dízimas periódicas (0,333...) também são racionais.

• Decimais exatos viram fração colocando sobre potência de 10 e simplificando: 0,25 = 25/100 = 1/4.
• Dízima periódica simples: 0,333... = 1/3; 0,666... = 2/3.

Frações: operações, simplificação e comparação

Conceito e leitura do enunciado

Fração representa parte de um todo, razão entre grandezas ou resultado de divisão. Em prova, a fração pode aparecer como “parte de”, “do total”, “restante”, “metade”, “um terço”. A interpretação define se você multiplica, soma ou subtrai frações.

Simplificação (redução)

Simplificar é dividir numerador e denominador pelo mesmo número (fator comum). Isso facilita contas e evita erro.

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Exemplo: 18/24. MDC(18,24)=6 → 18/24 = (18÷6)/(24÷6) = 3/4.

Adição e subtração de frações (passo a passo)

Você só soma/subtrai diretamente quando os denominadores são iguais. Caso contrário, use denominador comum (preferencialmente o MMC).

Exemplo: 2/3 + 1/4.

• 1) MMC(3,4)=12.
• 2) Transforme: 2/3 = 8/12; 1/4 = 3/12.
• 3) Some: 8/12 + 3/12 = 11/12.

Multiplicação e divisão de frações (passo a passo)

Multiplicação: multiplique numeradores e denominadores; simplifique antes (corte cruzado) para evitar números grandes.

Exemplo: (3/5) × (10/21).

• 1) Simplifique cruzado: 10 com 5 → 10/5 = 2; fica (3/1) × (2/21).
• 2) Multiplique: 3×2 = 6; 1×21 = 21 → 6/21 = 2/7.

Divisão: multiplique pela fração inversa.

Exemplo: (4/9) ÷ (2/3) = (4/9) × (3/2) = 12/18 = 2/3.

Comparação de frações

Para comparar 3/7 e 4/9, você pode:

• Fazer denominador comum (MMC) e comparar numeradores.
• Multiplicação cruzada: compare 3×9 com 4×7 → 27 vs 28 → 3/7 < 4/9.

Decimais: conversões e operações rápidas

Fração ↔ decimal

• Fração para decimal: faça a divisão do numerador pelo denominador (quando for exata) ou use equivalências conhecidas: 1/2=0,5; 1/4=0,25; 3/4=0,75; 1/5=0,2; 1/8=0,125.
• Decimal para fração: escreva sem vírgula sobre potência de 10 e simplifique. Ex.: 1,2 = 12/10 = 6/5.

Arredondamento e atenção ao enunciado

Se a questão pedir “aproximadamente” ou “com duas casas decimais”, arredonde corretamente. Se não pedir, mantenha fração ou decimal exato para evitar erro acumulado.

Porcentagem: conceito, cálculo direto e variação percentual

Conceito

Porcentagem é uma razão com denominador 100: p% = p/100. Em problemas, “x% de y” significa (x/100) × y.

Cálculo passo a passo

Exemplo: 18% de 250.

• 1) Transforme: 18% = 18/100 = 0,18.
• 2) Multiplique: 0,18 × 250 = 45.

Atalho útil: 10% é dividir por 10; 1% é dividir por 100; 5% é metade de 10%; 20% é o dobro de 10%.

Tabela-resumo de fórmulas (porcentagem e variação percentual)

1) p% de V = (p/100) * V  =  p * V / 100
2) Valor final com aumento de p%: Vf = Vi * (1 + p/100)
3) Valor final com desconto de p%: Vf = Vi * (1 - p/100)
4) Variação percentual (de Vi para Vf): var% = (Vf - Vi)/Vi * 100
5) Se Vf = Vi * k, então var% = (k - 1) * 100

Variação percentual: interpretação do enunciado

“Aumentou de 80 para 100” não é “aumentou 20%” automaticamente. Primeiro calcule a variação absoluta (100−80=20) e depois divida pelo valor inicial (80).

Exemplo: de 80 para 100.

• var% = (100−80)/80 × 100 = 20/80 × 100 = 25%.

Exemplo com desconto: produto de R$ 200 com 15% de desconto.

• Vf = 200 × (1 − 0,15) = 200 × 0,85 = 170.

Regra de três simples: direta e inversa

Quando usar

Use regra de três quando houver duas grandezas relacionadas e você souber três valores para achar o quarto. O ponto-chave é decidir se a relação é diretamente proporcional (aumenta com aumenta) ou inversamente proporcional (aumenta com diminui).

Passo a passo (direta)

Exemplo: 6 kg de alimento custam R$ 48. Quanto custam 9 kg?

• 1) Identifique grandezas: kg e preço.
• 2) Relação: mais kg → mais preço (direta).
• 3) Monte: 6 kg → 48; 9 kg → x.
• 4) Proporção: 6/9 = 48/x ou 6:48 = 9:x (mantenha coerência).
• 5) Produto cruzado: 6x = 9×48 → x = (9×48)/6 = 72.

Passo a passo (inversa)

Exemplo: 4 pessoas fazem um serviço em 15 dias. Em quantos dias 6 pessoas fazem o mesmo serviço (mesma produtividade)?

• 1) Grandezas: pessoas e dias.
• 2) Relação: mais pessoas → menos dias (inversa).
• 3) Monte: 4 → 15; 6 → x.
• 4) Em inversa, multiplica constante: pessoas × dias = constante.
• 5) 4×15 = 6×x → 60 = 6x → x = 10 dias.

Regra de três composta: organizando por fatores

Ideia central

Na regra de três composta, uma grandeza (o que você quer achar) depende de duas ou mais grandezas. O método mais seguro é montar uma tabela e decidir, para cada grandeza, se ela é direta ou inversa em relação ao que se quer.

Passo a passo com tabela

Exemplo: 8 operários fazem 120 m de muro em 6 dias. Quantos metros 12 operários fazem em 9 dias, mantendo o mesmo ritmo?

• 1) Grandezas: operários, dias, metros (resultado).
• 2) Relações com metros: mais operários → mais metros (direta); mais dias → mais metros (direta).

Operários   Dias   Metros
8          6      120
12         9      x

• 3) Monte o fator de multiplicação: x = 120 × (12/8) × (9/6).
• 4) Calcule: (12/8)=3/2; (9/6)=3/2 → x = 120 × (3/2) × (3/2) = 120 × 9/4 = 270.

Checagem rápida: aumentou operários e dias, então metros devem aumentar; 270 > 120, coerente.

Razão e proporção: leitura, equivalência e aplicações

Razão

Razão é uma comparação por divisão: a:b = a/b. Pode comparar quantidades da mesma natureza (ex.: 2:3) ou grandezas diferentes (ex.: km/h). Em enunciados, aparece como “para cada”, “na razão de”, “proporção de”.

Exemplo: mistura com razão álcool:água = 2:3. Isso significa que, a cada 2 partes de álcool, há 3 partes de água. Total de partes = 5.

Proporção

Proporção é igualdade entre razões: a/b = c/d. Propriedade fundamental: a×d = b×c (produto dos meios = produto dos extremos).

Exemplo: 3/5 = 12/x → 3x = 60 → x = 20.

Divisão proporcional: direta e inversa

Divisão proporcional direta (passo a passo)

Você divide um total em partes proporcionais a uma razão dada.

Exemplo: dividir R$ 1.200 entre A, B e C na razão 2:3:5.

• 1) Some os termos: 2+3+5 = 10.
• 2) Valor de 1 parte: 1.200/10 = 120.
• 3) Distribua: A=2×120=240; B=3×120=360; C=5×120=600.

Divisão proporcional inversa (passo a passo)

As partes são inversamente proporcionais a números dados (quem tem número maior recebe menos, e vice-versa).

Exemplo: dividir R$ 900 entre A, B e C inversamente proporcionais a 2, 3 e 6.

• 1) Inverta os números: 1/2, 1/3, 1/6.
• 2) Coloque em razão inteira (MMC 6): 1/2=3/6, 1/3=2/6, 1/6=1/6 → razão 3:2:1.
• 3) Some: 3+2+1=6.
• 4) 1 parte: 900/6=150.
• 5) Distribua: A=3×150=450; B=2×150=300; C=1×150=150.

Exercícios graduados (com resolução comentada)

Nível básico

1) Calcule: −7 + 12 − (−5).

Resolução comentada: subtrair (−5) é somar 5. Então −7 + 12 + 5 = 10.

2) Simplifique a fração 45/60.

Resolução comentada: MDC(45,60)=15. 45/60 = 3/4.

3) Calcule 25% de 80.

Resolução comentada: 25% = 1/4. Então 1/4 de 80 = 20.

Nível intermediário

4) Calcule: 2/3 − 5/12.

Resolução comentada: denominador comum 12. 2/3=8/12. 8/12−5/12=3/12=1/4.

5) Um produto custa R$ 150 e sofre aumento de 12%. Qual o novo preço?

Resolução comentada: “aumento de 12%” indica multiplicar por (1+0,12)=1,12. Vf=150×1,12=168.

6) Se 9 cadernos custam R$ 63, quanto custam 14 cadernos (mesmo preço unitário)?

Resolução comentada: direta (mais cadernos, mais custo). Preço unitário 63/9=7. Então 14×7=98.

Nível prova (interpretação + múltiplas etapas)

7) Uma turma consumiu 3/8 de um estoque de 240 unidades. Quantas unidades restaram?

Resolução comentada: “consumiu 3/8” significa retirar 3/8 do total. Consumido = (3/8)×240 = 3×30 = 90. Restante = 240−90 = 150.

8) O número de candidatos aprovados passou de 160 para 200. Qual foi a variação percentual?

Resolução comentada: var% = (Vf−Vi)/Vi×100 = (200−160)/160×100 = 40/160×100 = 25%.

9) 5 máquinas produzem 300 peças em 4 dias. Quantas peças 8 máquinas produzem em 6 dias, mantendo a mesma produtividade?

Resolução comentada: produção é diretamente proporcional a máquinas e dias. x = 300 × (8/5) × (6/4). Simplifique: (6/4)=3/2. Então x = 300 × (8/5) × (3/2). 300×(8/5)=480. 480×(3/2)=720.

10) Divida 1.560 em partes proporcionais a 3, 4 e 6.

Resolução comentada: soma 3+4+6=13. Uma parte = 1.560/13 = 120. Então: 3×120=360; 4×120=480; 6×120=720.

11) Uma solução tem razão soluto:solvente = 1:9. Se o total é 500 mL, quantos mL de soluto há?

Resolução comentada: total de partes = 1+9=10. Soluto é 1 parte: 500/10=50 mL.

12) Três pessoas recebem uma gratificação de R$ 2.400 inversamente proporcional aos tempos (em horas) que levaram para concluir uma tarefa: 2 h, 3 h e 5 h. Quanto recebe cada uma?

Resolução comentada: inversamente proporcional ao tempo → quem levou menos horas recebe mais. Inverta: 1/2, 1/3, 1/5. Transforme em razão inteira (MMC 30): 1/2=15/30, 1/3=10/30, 1/5=6/30 → razão 15:10:6. Soma = 31. Cada “parte” vale 2.400/31. Valores: A=15×(2400/31)=36000/31≈1161,29; B=10×(2400/31)=24000/31≈774,19; C=6×(2400/31)=14400/31≈464,52. Se a questão exigir valores exatos, mantenha em fração; se exigir arredondamento, siga o critério pedido.