Matemática para CFN: Álgebra Essencial e Funções

Expressões algébricas: desenvolvimento e simplificação

Ideia central

Expressões algébricas combinam números e letras (variáveis) com operações. Em provas, o foco costuma ser: reduzir termos semelhantes, aplicar distributiva, substituir valores e manter atenção aos sinais.

Regras práticas essenciais

• Termos semelhantes: têm a mesma parte literal (mesmas letras e expoentes). Ex.: 3x e −5x são semelhantes; 3x e 3x² não são.
• Distributiva: a(b + c) = ab + ac.
• Sinais: −(a − b) = −a + b; (−a)(−b) = +ab; (−a)(+b) = −ab.

Exemplo resolvido 1 (simplificação)

Simplifique: 2x − 3 + 5x + 7 − x

Passo a passo:

• Agrupe termos em x: 2x + 5x − x = (2 + 5 − 1)x = 6x
• Agrupe constantes: −3 + 7 = 4
• Resultado: 6x + 4

Exemplo resolvido 2 (distributiva e sinais)

Desenvolva e simplifique: 3(2x − 5) − 2(x + 4)

Passo a passo:

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• Distribua: 3(2x − 5) = 6x − 15
• Distribua: −2(x + 4) = −2x − 8
• Some: (6x − 2x) + (−15 − 8) = 4x − 23
• Resultado: 4x − 23

Exercícios (expressões)

• 1) Simplifique: 7a − 2 + 3a + 9 − 5a
• 2) Desenvolva: 4(3x − 2) + (x − 5)
• 3) Simplifique: −(2y − 7) + 3(y + 1)
• 4) Calcule o valor de 2x² − 3x + 1 para x = −2

Produtos notáveis

Fórmulas que mais caem

• (a + b)² = a² + 2ab + b²
• (a − b)² = a² − 2ab + b²
• (a + b)(a − b) = a² − b² (diferença de quadrados)

Exemplo resolvido 1 (quadrado da soma)

Desenvolva: (2x + 3)²

Passo a passo:

• a = 2x, b = 3
• (2x)² + 2(2x)(3) + 3² = 4x² + 12x + 9
• Resultado: 4x² + 12x + 9

Exemplo resolvido 2 (produto da soma pela diferença)

Calcule: (5y + 2)(5y − 2)

Passo a passo:

• a = 5y, b = 2
• a² − b² = (5y)² − 2² = 25y² − 4
• Resultado: 25y² − 4

Exercícios (produtos notáveis)

• 1) Desenvolva: (x − 7)²
• 2) Desenvolva: (3a + 4)²
• 3) Simplifique: (2m + 5)(2m − 5)
• 4) Desenvolva e reduza: (x + 2)² − (x − 2)²

Fatoração: técnicas essenciais

Por que fatorar

Fatorar é reescrever uma expressão como produto. Isso facilita resolver equações, simplificar frações algébricas e identificar zeros (raízes).

Casos mais comuns

• Fator comum em evidência: ax + ay = a(x + y)
• Agrupamento: ax + ay + bx + by = (a + b)(x + y)
• Diferença de quadrados: a² − b² = (a − b)(a + b)
• Trinômio quadrado perfeito: a² ± 2ab + b² = (a ± b)²
• Trinômio do 2º grau: x² + px + q = (x + r)(x + s), com r + s = p e rs = q

Exemplo resolvido 1 (fator comum)

Fatore: 6x² − 9x

Passo a passo:

• Maior fator comum: 3x
• 6x² − 9x = 3x(2x − 3)
• Resultado: 3x(2x − 3)

Exemplo resolvido 2 (diferença de quadrados)

Fatore: 16a² − 25

Passo a passo:

• 16a² = (4a)² e 25 = 5²
• (4a)² − 5² = (4a − 5)(4a + 5)
• Resultado: (4a − 5)(4a + 5)

Exemplo resolvido 3 (trinômio x² + px + q)

Fatore: x² − 5x + 6

Passo a passo:

• Procure r e s tais que r + s = −5 e rs = 6
• Os números são −2 e −3 (somam −5 e multiplicam 6)
• x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)
• Resultado: (x − 2)(x − 3)

Exercícios (fatoração)

• 1) Fatore: 8y³ + 12y²
• 2) Fatore: x² − 9
• 3) Fatore: a² + 10a + 25
• 4) Fatore: x² + x − 12
• 5) Fatore por agrupamento: 2x + 6 + x y + 3y

Equações e inequações do 1º grau

Equação do 1º grau

Forma típica: ax + b = 0 (com a ≠ 0). Resolver é isolar x usando operações inversas, mantendo igualdade.

Exemplo resolvido (equação)

Resolva: 3x − 7 = 2x + 5

Passo a passo:

• Leve termos com x para um lado: 3x − 2x = 5 + 7
• x = 12
• Solução: x = 12

Inequação do 1º grau

Mesma lógica da equação, mas com atenção: ao multiplicar ou dividir por número negativo, o sinal da desigualdade inverte.

Exemplo resolvido (inequação)

Resolva: −2x + 1 > 7

Passo a passo:

• Subtraia 1: −2x > 6
• Divida por −2 (inverte o sinal): x < −3
• Solução: x < −3

Exercícios (1º grau)

• 1) Resolva: 5x + 2 = 3x − 10
• 2) Resolva: 4(2x − 1) = 3x + 5
• 3) Resolva: 7 − 3x ≤ 1
• 4) Resolva: (x − 2)/3 > 4

Equações e inequações do 2º grau

Equação do 2º grau

Forma: ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0). Métodos comuns: fatoração (quando possível) e fórmula de Bhaskara.

Bhaskara

Δ = b² − 4ac e x = (−b ± √Δ)/(2a).

Exemplo resolvido 1 (por fatoração)

Resolva: x² − 5x + 6 = 0

Passo a passo:

• Fatore: (x − 2)(x − 3) = 0
• Iguale cada fator a zero: x − 2 = 0 ou x − 3 = 0
• Soluções: x = 2 e x = 3

Exemplo resolvido 2 (por Bhaskara)

Resolva: 2x² + 3x − 2 = 0

Passo a passo:

• a = 2, b = 3, c = −2
• Δ = 3² − 4·2·(−2) = 9 + 16 = 25
• x = (−3 ± √25)/(2·2) = (−3 ± 5)/4
• x₁ = (−3 + 5)/4 = 2/4 = 1/2
• x₂ = (−3 − 5)/4 = −8/4 = −2
• Soluções: x = 1/2 e x = −2

Inequação do 2º grau (noção prática)

Para ax² + bx + c > 0 (ou < 0), a ideia é: encontrar as raízes (se existirem) e analisar o sinal por intervalos. Se a > 0, a parábola “abre para cima”; se a < 0, “abre para baixo”.

Exemplo resolvido (análise de sinal)

Resolva: x² − 5x + 6 > 0

Passo a passo:

• Encontre as raízes: x² − 5x + 6 = 0 → x = 2 e x = 3
• Como a = 1 > 0, a expressão é positiva fora do intervalo entre as raízes
• Solução: x < 2 ou x > 3

Exercícios (2º grau)

• 1) Resolva: x² − 9x = 0
• 2) Resolva: x² + 4x + 1 = 0
• 3) Resolva: 3x² − 12x + 12 = 0
• 4) Resolva: x² − 4x − 5 < 0

Sistemas lineares (2×2): método prático

Modelo

Um sistema 2×2 tem duas equações e duas incógnitas. Métodos mais usados: substituição e eliminação (adição).

Exemplo resolvido (eliminação)

Resolva: { 2x + y = 7 ; 3x − y = 8 }

Passo a passo:

• Some as equações para eliminar y: (2x + y) + (3x − y) = 7 + 8
• 5x = 15 → x = 3
• Substitua em 2x + y = 7: 2·3 + y = 7 → 6 + y = 7 → y = 1
• Solução: (x, y) = (3, 1)

Exemplo resolvido (substituição)

Resolva: { x + 2y = 10 ; 3x − y = 5 }

Passo a passo:

• Da 1ª: x = 10 − 2y
• Substitua na 2ª: 3(10 − 2y) − y = 5
• 30 − 6y − y = 5 → 30 − 7y = 5 → −7y = −25 → y = 25/7
• x = 10 − 2(25/7) = 70/7 − 50/7 = 20/7
• Solução: (x, y) = (20/7, 25/7)

Exercícios (sistemas)

• 1) Resolva: { x + y = 9 ; x − y = 1 }
• 2) Resolva: { 2x + 3y = 12 ; x − y = 1 }
• 3) Resolva: { 4x − y = 11 ; 2x + y = 7 }
• 4) Em um sistema, a solução é x = 2. Encontre y: { x + 3y = 14 ; 2x − y = 1 }

Problemas algébricos típicos (modelagem)

Como montar a equação

• Defina a incógnita (ou incógnitas) com clareza.
• Traduza frases para operações: “o dobro” → 2x; “a soma” → x + y; “diferença” → x − y; “metade” → x/2.
• Use a condição do enunciado para fechar a equação/sistema.

Exemplo resolvido 1 (idade)

A soma das idades de dois irmãos é 26. O mais velho tem 4 anos a mais que o mais novo. Encontre as idades.

Passo a passo:

• Seja x a idade do mais novo. Então o mais velho tem x + 4.
• Soma: x + (x + 4) = 26
• 2x + 4 = 26 → 2x = 22 → x = 11
• Mais velho: 11 + 4 = 15
• Idades: 11 e 15

Exemplo resolvido 2 (valor e quantidade)

Em uma compra, 3 itens A e 2 itens B custam 46 reais. Já 1 item A e 4 itens B custam 38 reais. Determine os preços de A e B.

Passo a passo:

• Seja x o preço de A e y o preço de B.
• Monte o sistema: { 3x + 2y = 46 ; x + 4y = 38 }
• Da 2ª: x = 38 − 4y
• Substitua na 1ª: 3(38 − 4y) + 2y = 46
• 114 − 12y + 2y = 46 → 114 − 10y = 46 → −10y = −68 → y = 6,8
• x = 38 − 4(6,8) = 38 − 27,2 = 10,8
• Preços: A = 10,80 e B = 6,80

Exercícios (problemas)

• 1) Um número somado ao seu triplo é 56. Qual é o número?
• 2) A diferença entre um número e 7 é 19. Qual é o número?
• 3) Dois números somam 40 e o maior excede o menor em 8. Determine os números.
• 4) Um retângulo tem perímetro 50. Se o comprimento é 5 a mais que a largura, encontre as dimensões.

Noções de função afim (1º grau): leitura de gráfico e variação

Definição e interpretação

Função afim: f(x) = ax + b. No gráfico, é uma reta. O coeficiente a indica a inclinação (taxa de variação) e b é o valor de f(0), o ponto onde a reta corta o eixo y.

• Se a > 0: função crescente.
• Se a < 0: função decrescente.
• Se a = 0: função constante.

Exemplo resolvido (taxa de variação e intercepto)

Dada f(x) = 2x − 3, determine: f(0), f(4) e o zero da função.

Passo a passo:

• f(0) = 2·0 − 3 = −3 (intercepto em y)
• f(4) = 2·4 − 3 = 8 − 3 = 5
• Zero: 2x − 3 = 0 → 2x = 3 → x = 3/2

Exercícios (função afim)

• 1) Para f(x) = −3x + 6, diga se é crescente/decrescente e calcule o zero.
• 2) Encontre a função afim que passa por (0, 2) e (3, 11).
• 3) Se f(x) = ax + b e f(1) = 5, f(3) = 9, determine a e b.

Noções de função quadrática: concavidade, vértice e raízes

Definição e leitura do gráfico

Função quadrática: f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0). O gráfico é uma parábola.

• Se a > 0: concavidade para cima (mínimo no vértice).
• Se a < 0: concavidade para baixo (máximo no vértice).
• c = f(0): ponto onde corta o eixo y.

Vértice (noção operacional)

O x do vértice é x_v = −b/(2a). O y do vértice é y_v = f(x_v).

Exemplo resolvido (vértice e raízes)

Considere f(x) = x² − 4x + 3. Encontre as raízes e o vértice.

Passo a passo:

• Raízes: x² − 4x + 3 = 0 → (x − 1)(x − 3) = 0 → x = 1 e x = 3
• Vértice: a = 1, b = −4 → x_v = −(−4)/(2·1) = 2
• y_v = f(2) = 2² − 4·2 + 3 = 4 − 8 + 3 = −1
• Vértice: (2, −1); concavidade para cima (a > 0)

Exercícios (função quadrática)

• 1) Para f(x) = −x² + 6x − 5, determine a concavidade e x_v.
• 2) Encontre as raízes de x² + 2x − 8 = 0.
• 3) Para f(x) = x² + 4x + 4, identifique se é quadrado perfeito e determine o vértice.

Questões mistas (consolidação)

• 1) Simplifique: 2(3x − 4) − (x − 5) + 3x.
• 2) Desenvolva: (x − 2)² e, em seguida, calcule o valor para x = 5.
• 3) Fatore completamente: 9a² − 12a + 4.
• 4) Resolva a equação: (x − 1)(x + 4) = 0.
• 5) Resolva: 2x² − 7x + 3 = 0.
• 6) Resolva a inequação: 3x − 2 ≥ 4x + 5.
• 7) Resolva a inequação: x² − 1 ≤ 0.
• 8) Resolva o sistema: { 2x + y = 1 ; x − 2y = 8 }.
• 9) Uma função afim tem f(0) = −2 e f(5) = 8. Determine a expressão f(x).
• 10) Para f(x) = x² − 2x − 3, determine as raízes e diga em quais intervalos f(x) > 0.

Gabarito (sem passos)

1) 8x - 3
2) (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4; para x=5: 9
3) (3a - 2)^2
4) x = 1 ou x = -4
5) x = 3 ou x = 1/2
6) x ≤ -7
7) -1 ≤ x ≤ 1
8) (x, y) = (2, -3)
9) f(x) = 2x - 2
10) raízes: x = 3 e x = -1; f(x) > 0 em x < -1 ou x > 3